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2.4.1 抛物线的标准方程基础达标1已知抛物线的准线方程是x7，则抛物线的标准方程是_解析：由题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，准线方程是x，则7，解得p14，故所求抛物线的标准方程为y228x.答案：y228x2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_解析：抛物线的准线为x，将圆的方程化简得到(x3)2y216，准线与圆相切，则1p2.答案：23以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_解析：双曲线的方程为1，右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则4，即p8，抛物线的标准方程为y216x.故填y216x.答案：y216x4抛物线x24ay(a0)的准线方程为_解析：抛物线的焦点在y轴上，准线方程为y，即ya.答案：ya5过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若AF3，则BF_.解析：抛物线y24x的准线为x1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知AFx113，所以x12，所以y12，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y02(x1)，代入抛物线方程消去y得2x25x20，求得x2或，所以x2，故BF.答案：6已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析：过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线所以MN.由抛物线的定义知ADBCAFBF3，所以MN，又由于准线l的方程为x，所以线段AB中点到y轴的距离为，故填.答案：7平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程解：设P(x，y)，则有|x|1，两边平方并化简得y22x2|x|.y2故点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为，求p与m的值解：(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，抛物线的方程为标准方程又点P(4,2)在第一象限，抛物线的方程设为y22px，x22py(p0)当抛物线为y22px时，则有222p4，故2p1，y2x；当抛物线为x22py时，则有422p2，故2p8，x28y.综上，所求的抛物线的方程为y2x或x28y.(2)由抛物线方程得其准线方程y，根据抛物线定义，点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4，解得p；抛物线方程为：x2y，将A(m，4)代入抛物线方程，解得m2.能力提升1在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_解析：直线l的方程为y(x1)，即xy1，代入抛物线方程得y2y40，解得yA2(yB0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c.设抛物线方程为y24cx，抛物线过点，64c.c1，故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍去)b2，故双曲线方程为：4x21.4设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解：(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，BD2p，圆F的半径FAp.由抛物线定义可知A到l的距离dFAp.因为ABD的面积为4，所以BDd4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A、B、F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知ADFAAB，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m、n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
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