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问题20 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项. 二、经验分享(1) 已知Sn，求an的步骤当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1；(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式 整理得：，（叠乘法）因为，所以， ， ，相乘得，且当=1、2时，满足此式，所以.(三) 用构造法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列满足： ，（ ），则数列的通项公式为_【分析】变形为,构造新数列求解.【答案】【解析】由得： ，变形得：，所以是以2为公比的等比数列，所以，所以.【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出.用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.【小试牛刀】已知数列满足, ,则 【答案】(四) 利用与的关系求数列的通项【例4】已知数列的前项和为,（1）求的通项公式；（2）设,数列的前项和为,证明：【分析】（1）已知和与项的关系,要求通项公式,可在已知（）基础上,用代（）,得,两式相减得（）的递推式,求得,注意的值与的表达式的关系；（2）由（1）是分段函数形式,时, ,考虑到证明和,因此可放缩以求和,从而得,可证得不等式 又由,于是 故.【小试牛刀】已知数列an前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(nN*)（I）证明：an+2是等比数列,并求an的通项公式；（）数列bn满足bn=log2(an+2),Tn为数列的前n项和,若对正整数a都成立,求a的取值范围【答案】()；（）.（）因为, 所以, 依题意得： 五、迁移运用1【安徽省2019届高三上学期第二次联考】设是数列的前项和，若，则（ ）A B C D【答案】A2.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】1【2017学年辽宁东北育才学校段考】设各项均为正数的数列 的前项和为 ,且满足则数列的通项公式是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由满足因式分解可得： ,数列 的各项均为正数,当 时, ,解得 当 时, ,当 时,上式成立 故选A3【福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查】已知数列和首项均为1，且，数列的前项和为，且满足，则（ ）A2019 B C D【答案】D【解析】由，可得：，即数列是常数列，又数列首项为1，所以，所以可化为，因为数列的前项和，所以， 6【湖北省鄂州市2019届高三上学期期中】已知数列的前项和为，首项，且，则（ ）A B C D【答案】A7.已知数列满足,则_.【答案】【解析】,又,数列是以2为首项,1为公差的等差数列,则故答案为：8若数列满足,则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】为等差数列, , ,.9【福建省莆田市2018届高三下学期教学质量检测】已知数列an满足，则_【答案】10【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研】已知数列的前项和为，且,（），若,则数列的前项和_.【答案】或 11【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测】在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为，则 _.【解析】因为，且对任意，成等差数列，其公差为，所以当 时,可得，当时，,所以,故答案为. 由不等式恒成立,得恒成立,设,由,当时,当时,而,15.已知数列的前项和,其中.（I）求的通项公式；（II）若,求的前项和.【答案】（I）（II）（II）由（I）可得, 16.已知数列的各项都不为零,其前项为,且满足：（1）若,求数列的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列,使得？若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在,请说明理由【答案】（1）；（2）详见解析.17.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知是公差为3的等差数列，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【解析】（1）由已知且，得，是首项为4，公差为3的等差数列， 通项公式为；（2）由（1）知，得：，因此是首项为、公比为的等比数列，则18【河南省南阳市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和为，且满足（）（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和（2）由（1）得，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，所以数列的前项和
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