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第2章 平面解析几何初步(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1已知点A(1，)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角是_解析：直线AB的斜率为，则直线AB的倾斜角是120.答案：1202两条平行线l1：3x4y20，l2：ax6y5间的距离为_解析：由l1l2得，a，所以l2的方程为3x4y0.l1、l2间的距离d.答案：3若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则实数m满足_解析：2m2m3，m2m不能同时为0，得m1.答案：m14直线l经过l1：xy20与l2：xy40的交点P，且过线段AB的中点Q，其中A(1,3)，B(5,1)，则直线l的方程是_解析：法一：解方程组得点P(3，1)，又线段AB的中点Q(2,2)，则直线l的方程为：，即为3xy80.法二：设直线l的方程为xy2(xy4)0，又线段AB的中点Q(2,2)，代入所设方程得240，解得，所以直线l的方程为xy2(xy4)0，即3xy80.答案：3xy805设集合M(x，y)|x2y24，N(x，y)|(x1)2(y1)2r2(r0)，若MNN，则实数r的取值范围是_解析：由题意得NM，则圆(x1)2(y1)2r2内切于圆x2y24，或者内含于圆x2y24，由圆心距与半径长的关系可得2r，解得r2.又r0，所以实数r的取值范围是(0,2答案：(0,26对于任意实数，直线(2)x(1)y20与点(2，2)的距离为d，则d的取值范围为_解析：无论取何值，直线都过定点(2,2)，而点(2,2)与点(2，2)的距离为4，又点(2，2)不在已知直线上，故d0，所以0d4.答案：0d47圆x2y22x30与直线yax1交点的个数为_解析：直线yax1恒过定点(0,1)，而02122030，即点在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点答案：28过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_解析：由题意知A、B两点在圆上，直线AB的垂直平分线x3过圆心又圆C与直线yx1相切于点B(2,1)，kBC1.直线BC的方程为y1(x2)，即yx3.yx3与x3联立得圆心C的坐标为(3,0)，rBC.圆C的方程为(x3)2y22.答案：(x3)2y229等腰直角三角形ABC中，C90，若点A、C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标是_解析：设B(x，y)，根据题意可得，即.解得或，B(2,0)或B(4,6)答案：(2,0)或(4,6)10在平面直角坐标系xOy中，若曲线x与直线xm有且只有一个公共点，则实数m等于_解析：曲线x，即为x2y24(x0)其图形是如图所示的半圆直线xm与半圆有且只有一个公共点时m2.答案：211直线xy10与2x2y10是圆的两条切线，则该圆的面积是_解析：两平行直线间的距离即为圆的直径2R，R，S圆R2.答案：12已知点A(4，3)与B(2，1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x3y20的距离等于2，则点P的坐标是_解析：由题意知线段AB的中点C(3，2)，kAB1，故直线l的方程为y2x3，即yx5. 设P(x，x5)，则2，解得x1或x.即点P的坐标是(1，4)或(，)答案：(1，4)或(，)13若圆(x1)2(y1)2R2上有且仅有两个点到直线4x3y11的距离等于1，则半径R的取值范围是_解析：圆心到直线的距离为2，又圆(x1)2(y1)2R2上有且仅有两个点到直线4x3y11的距离等于1，结合图形可知，半径R的取值范围是1R3.答案：(1,3)14函数f(x)(x2 012)(x2 013)的图象与x轴、y轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个交点，则此圆与坐标轴的另一交点坐标是_解析：依题意得，函数f(x)(x2 012)(x2 013)的图象与x轴、y轴的交点分别是A(2 013,0)、B(2 012，0)、C(0，2 0122 013)设过A、B、C三点的圆与y轴的另一交点为D(0，y0)，圆的方程是x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，此方程的两根即为A、B两点的横坐标，F2 0132 012.又令x0，得y2Ey2 0132 0120，此方程的二根就是C、D两点的纵坐标，y0(2 0122 013)2 0132 012，所以y01，即经过A、B、C三点的圆与y轴的另一个交点D的坐标是(0,1)答案：(0,1) 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(2014绍兴检测)已知直线l的倾斜角为135，且经过点P(1,1)(1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A的坐标解：(1)ktan 1351，l：y1(x1)，即xy20.(2)设A(a，b)，则解得a2，b1，A的坐标为(2，1)16(本小题满分14分)(2014高安高一检测)过圆x2y24外一点P(2,1)引圆的切线，求切线方程解：当切线斜率存在时，设切线的方程为y1k(x2)即：kxy2k10，圆心(0,0)到切线的距离是2，2，解得k，切线方程为xy10，即3x4y100.当切线斜率不存在时，又x2与圆也相切，所以所求切线方程为3x4y100和x2.17(本小题满分14分)已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相切，求实数m的值解：对于圆C1与圆C2的方程配方，得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，圆C1与圆C2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切(1)当圆C1与圆C2相外切时，有C1C2r1r2，即5，整理，得m23m100，解得m5或m2；(2)当圆C1与圆C2相内切时，有C1C2|r1r2|，即1，整理，得m23m20，解得m1或m2.综上所述，当m5或m1或m2时，圆C1与圆C2相切18(本小题满分16分)已知圆C：x2y22x4ym0，(1)求实数m的取值范围；(2)若直线l：x2y40与圆C相交于M，N两点，且OMON，求m的值解：(1)由x2y22x4ym0得(x1)2(y2)25m，故5m0，即m5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)直线OM，ON的斜率显然都存在，由OMON，得1，即x1x2y1y20.由得5y216ym80.又因直线l与圆C交于M，N两点，所以16220(m8)0，得m，且y1y2，y1y2，所以x1x2(42y1)(42y2)168(y1y2)4y1y2.代入，得m，满足m.所以m.19(本小题满分16分)已知圆C经过两点P(1，3)，Q(2,6)，且圆心在直线x2y40上，直线l的方程为(k1)x2y53k0.(1)求圆C的方程；(2)证明：直线l与圆C恒相交；(3)求直线l被圆C截得的最短弦长解：(1)设圆C的方程为x2y2DxEyF0.由条件，得，解得，圆C的方程为x2y24x2y200.(2)证明：由(k1)x2y53k0，得k(x3)(x2y5)0，令，得，即直线l过定点(3，1)，由32(1)2432(1)200，知点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交(3)圆心C(2,1)，半径为5，由题意知，直线l被圆C截得的最短弦长为24.20.(本小题满分16分)如图，圆x2y28内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB；(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；(3)设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式解：(1)如图所示，过点O做OGAB于G，连结OA，当135时，直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为xy10，OG.又r2，GA ，AB2GA.(2)当弦AB被点P平分时，OPAB，此时kOP2，AB的点斜式方程为y2(x1)，即x2y50.(3)设AB的中点为M(x，y)，当AB的斜率存在时，设为k，OMAB，则消去k，得x2y22yx0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P的弦的中点M的轨迹方程为x2y22yx0.
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