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2.3.1直线与平面垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法题号线面垂直的定义及判定定理的理解1,2,3,5,6线面垂直的判定及证明4,8直线与平面所成的角7,9综合问题10,11基础巩固1.设l,m是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是(A)(A)若l,lm,则m(B)若l,m,则lm(C)若lm,m,则l(D)若l,m,则lm解析:易知A正确.B.l与m可能异面,也可能平行.C.当l与内两条相交直线垂直时,才能判定l,D.l与m可能平行、异面或相交.2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(C)(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直(C)垂直但不相交(D)不垂直也不相交解析:取BD的中点O,连接AO,CO,则BDAO,BDCO,所以BD平面AOC,BDAC,又BD,AC异面,故选C.3.(2018云南玉溪中学高一测试)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则直线l和平面的位置关系是(D)(A)垂直 (B)平行(C)l在内(D)无法确定解析:当l与平面内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则l可能在内,也可能与平面平行,相交,故选D.4.(2018陕西西安高一期末)已知P为ABC所在平面外一点,PAPB,PBPC,PCPA,PH平面 ABC,垂足H,则H为ABC的(B)(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PAPB,PAPC,故PA平面PBC,故PABC;因为PH平面ABC,故PHBC,故BC平面PAH,故AHBC;同理BHAC;故H是ABC的垂心.5.下列说法中错误的是(D)如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交;如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.(A)(B)(C)(D)解析:由线面垂直的判定定理可得错误,正确.故选D.6.(2018南昌调研)若,是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)若直线m,则在平面内,一定不存在与直线m平行的直线;若直线m,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直;若直线m,则在平面内,不一定存在与直线m垂直的直线;若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线.解析:对于,若直线m,如果,互相垂直,则在平面内,存在与直线m平行的直线,故错误;对于,若直线m,则直线m垂直于平面内的所有直线,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故正确;对于,若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线,故错误,正确.答案:7.如图所示,ACB=90,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=23 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为ACB的平分线.连接OF,可证明CFO为直角三角形,CO=22,RtPCO中,cosPCO=22,PCO=45.答案:458.如图,已知ABC中,ACB=90,SA平面ABC,ADSC于D,求证:AD平面SBC.证明:因为ACB=90,所以BCAC.又SA平面ABC,所以SABC.又ACSA=A,所以BC平面SAC.因为AD平面SAC,所以BCAD.又SCAD,SCBC=C,所以AD平面SBC.能力提升9.(2018宁夏银川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(A)(A)64(B)34(C)62(D)72解析:如图,分别取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E与BF,则B1E平面CAA1C1,过D作DHB1E,则DH平面CAA1C1,连接AH,则DAH为AD与平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=32,DA=2,所以sinDAH=DHDA=64.10.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,给出下列结论:ACSB;AB平面SCD;SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;ACSO.正确结论的序号是.解析:连接SO,如图所示,因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以ACBD.因为SD底面ABCD,所以SDAC,因为SDBD=D,所以AC平面SBD,因为SB平面SBD,所以ACSB,则正确;因为ABCD,AB平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD,则正确;因为SD底面ABCD,所以SAD和SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以SAD=SCD,则正确;因为AC平面SBD,SO平面SBD,所以ACSO,则正确.答案:教师备用:侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-ABC满足BAC=90,AB=AC=12AA=2,点M,N分别为AB,BC的中点.(1) 求证:MN平面AACC;(2) 求证:AN平面BCN;(3) 求三棱锥C-MNB的体积.(1)证明:如图,连接AB,AC,因为四边形ABBA为矩形,M为AB的中点,所以AB与AB交于点M,且M为AB的中点,又点N为BC的中点,所以MNAC,又MN平面AACC,且AC平面AACC,所以MN平面AACC.(2)证明:因为AB=AC=2,点N为BC的中点,所以ANBC.又BB平面ABC,所以ANBB,所以AN平面BCN.(3)解:由图可知VCMNB=VMBCN,因为BAC=90,所以BC=AB2+AC2=22,SBCN=12224=42.由(2)及BAC=90可得AN=2,因为M为AB的中点,所以M到平面BCN的距离为22,所以VCMNB=VMBCN=134222=43.探究创新11.如图(1),在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图(2).(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由.(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC.又因为DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)证明:由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因为A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC.又因为DEBC,所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.
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