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2.3.1双曲线的标准方程学习目标1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2By21(AB0，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625)双曲线过点(2，)，1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得双曲线的标准方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k0，即(k1)(k1)0，解得1k0时，方程化为1，c2k，26，解得k6.当k0时，方程化为1，c2k，26，解得k6.综上，k6或k6.5已知双曲线1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是_答案解析由于双曲线1的右焦点为F(5,0)，设M(xM，yM)，将xM5代入双曲线方程可得|yM|，即为点M到右焦点的距离，由双曲线的定义知M到左焦点的距离为23.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn9.7设椭圆1和双曲线y21的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cosF1PF2_.答案解析设PF1d1，PF2d2，则d1d22，|d1d2|2，22，得dd18.22，得2d1d26.而c2，cosF1PF2.8与双曲线1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为_答案1解析双曲线1的焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为1(a0，b0)又两曲线有相同的焦点，a2b2c2426.又点P(2,1)在双曲线1上，1.由得，a2b23，故所求双曲线方程为1.9已知双曲线x2y21，点F1，F2为其左，右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则PF1PF2的值为_答案2解析设P在双曲线的右支上，PF12x，PF2x(x0)，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以PF2PF1112.10焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为_答案1解析设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，则由QF1QF2，得kQF1kQF21，1，c5.设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过点(4，3)，1，又c2a2b225，a216，b29.双曲线的标准方程为1.11已知双曲线1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若()，则|的值为_答案1或5解析由题意得Q为PF的中点，设左焦点为F，其坐标为(3,0)，OQPF.若P在双曲线的左支上，则OQPF(PF2a)(622)1；若P在双曲线的右支上，则OQPF(PF2a)(622)5.综上，|1或5.二、解答题12设F1，F2是双曲线1(a0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且0，|2，求双曲线的方程解0，|2|2|220a.又|4.2，得2|4a.|2，a1.双曲线的方程为y21.13已知双曲线1的左，右焦点为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程解(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，0，则MF1MF2，设MF1m，MF2n，由双曲线定义知，mn2a8，又m2n2(2c)280，由得mn8，SMF1F2mn4F1F2h，h.(2)设所求双曲线C的方程为1(45，则c2mm59，m7；(2)当焦点在y轴上时，有m0，则c2m5m9，m2.综上，m7或m2.15已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左，右焦点，且MF1MF26，试判断MF1F2的形状解(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为1，则有解得所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M点在右支上，则有MF1MF22，又MF1MF26，故解得MF14，MF22，又F1F22，所以在MF1F2中，MF1边最长，cosMF2F10，又因为MF2F1(0，180)，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形
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