2019届高三数学上学期期中试题(含解析) (I).doc

2019届高三数学上学期期中试题(含解析) (I)一.填空题1.设函数 ，则f（f（2）=_【答案】-1【解析】【分析】先计算f(2)=,然后将代入解析式即可得结果.【详解】，f(2)=f（f（2）=f()=cos()=cos.故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的求法，注意需将自变量代入相应的解析式即可.2.在各项为实数的等比数列an中，a5+8a2=0，则公比q的值为_【答案】-2【解析】【分析】由等比数列的通项可得a5=-8a2=a2，计算可得公比q的值.【详解】在等比数列an中，a5=-8a2，=q3=-8，q=-2,即公比q的值为-2故答案为：-2【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.3.若，则tan=_【答案】7【解析】【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案.【详解】由数量积公式得=+2，=-2+，即+2=3（-2+），整理得7=， 即tan=7，故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.4.设集合A=x|x22x0，B=x|2x11，则（RA）B=_【答案】（0，1【解析】【分析】解出集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可【详解】集合A=x|x22x0=x|x0或x2，集合B=x|2x11=x|x10=x|x1，RA=x|0x2，（RA）B=x|0x1=（0，1故答案为：（0，1【点睛】本题考查集合的交集补集的运算.5.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_【答案】80【解析】【分析】用分步计数原理从5个家庭中选4个家庭；从每个家庭中选出1个,然后相乘可得【详解】分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：516=80故答案为：80【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_【答案】【解析】把圆的方程化为标准方程为，得到圆心的坐标为，圆的半径，由圆切线的性质可知，且，则，该圆夹在两条切线间的劣弧长，故答案为.7.已知数列an的前n项和Sn满足：对于任意m，nN*，都有Sn+Sm=Sn+m+2mn，若a1=1，则axx=_【答案】4033【解析】【分析】根据题意，在Sn+Sm=Sn+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：Sn+S1=Sn+1+2n，变形可得Sn+1Sn=12n，再令n=xx计算可得答案【详解】根据题意，在Sn+Sm=Sn+m+2mn中，令m=1可得：Sn+S1=Sn+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有Sn+1=Sn+1+2n，变形可得：Sn+1Sn=12n，则axx=SxxSxx=12xx=4033；故答案为：4033【点睛】本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题8.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，则_【答案】【解析】当时，所以当时，故；当时，所以；当时，所以，故故填.9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0上单调递增，若实数a满足f（log2|a1|）f（2），则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题可得f（x）在0，+）上为减函数，结合函数的奇偶性可将f（log2|a1|）f（2）转化为2log2|a1|2，解不等式可得a的取值范围.【详解】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0上单调递增，则f（x）在0，+）上为减函数，f（log2|a1|）f（2）f（|log2|a1|）f（2）|log2|a1|22log2|a1|2，得|a1|4，解得：3a或a5，即不等式的解集为（3，）（，5）；故答案为（3，）（，5）【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，其中利用函数的基本性质，将不等式转化f（|log2|a1|）f（2）是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.10.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则 =_【答案】4【解析】【分析】由题意利用余弦定理可得 c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，正弦定理即可求得答案【详解】在锐角三角形ABC中，a2+b2=6abcosC=6ab，c2=（a2+b2）， 则=+=tanC（+）=（+）=4，故答案为：4【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题11.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为x|xc，则（其中a+c0）的取值范围为_【答案】（，66，+）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=1，ab=1, 即c=-b将转为（ab）+，利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为x|xc，由二次函数图像的性质可得a0，二次函数的对称轴为x=c，=44ab=0，ac=1，ab=1，c=，b=，即c=-b,则=（ab）+，当ab0时，由基本不等式求得（ab）+6，当ab0时，由基本不等式求得（ab）6，即（ab）+6,故（其中a+c0）的取值范围为：（，66，+），故答案为：（，66，+）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.12.若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意xD，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】xD，点（x，g（x） 与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，g（x）+h（x）=2f（x），h（x）g（x）恒成立，2f（x）=g（x）+h（x）g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象， 则g（x）在直线f（x）的下方或重合，则直线f（x）的截距b0，且原点到直线y=2x+b的距离d1，d=b或（舍去）即实数b的取值范围是，+），故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二.选择题13.已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）A. B. ln（x21）ln（y21）C. sin xsin y D. x3y3【答案】D【解析】试题分析：由得:若令满足但有:所以选项A、B、C均不正确，故选D考点：函数的单调性14.已知点A（2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积坐标公式计算化简可得点P的轨迹【详解】动点P（x，y）满足，（2x，y）（3x，y）=x2，（2x）（3x）+y2=x2，解得y2=x+6，点P的轨迹是抛物线故选：D【点睛】本题考查利用直接法求动点的轨迹问题.15.已知数列an是公比为q（q1）的等比数列，则数列：2an；an2；anan+1；an+an+1；等比数列的个数为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义和通项公式逐项进行检验即可得出【详解】数列an是公比为q（q1）的等比数列，则，不是等比数列；=q2，故an2是等比数列；是公比为的等比数列；anan+1是公比为q2的等比数列；an+an+1不一定是等比数列，例如an=（1）n，综上等比数列的个数为3故选：B【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式的应用.16.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（xx2），i=0，1，2，99记Ik=|fk（a1）fk（a0）|+|fk（a2）fk（a1）丨+|fk（a99）fk（a98）|，k=1，2，3，则（）A. I1I2I3 B. I2I1I3 C. I1I3I2 D. I3I2I1【答案】B【解析】【分析】根据Ik=|fk（a1）fk（a0）|+|fk（a2）fk（a1）丨+|fk（a99）fk（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案.【详解】由，故=1，由 ，故=1，故I2I1I3，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题三.解答题17.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，ABBC，ADC=45，PA平面ABCD，AB=AP=1，AD=3（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），=（1，0，1），=（1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为，则cos=,所以异面直线PB与CD所成角大小为 （2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，1），=（0，2，0），=（1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），点D到平面PBC的距离d= 【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：求平面的法向量；求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解求线线角的步骤：确定空间两条直线的方向向量；求两个向量夹角的余弦值；比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角18.设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知及可得.（）由（）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（）因为，所以由题设知，所以，.故，又，所以.（）由（）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，即得曲线段的函数关系式，可得其定义域；（2）由函数关系式设点P坐标，设直线AB方程，将直线方程与曲线方程联立求出A，B坐标，即可求出最短长度p的取值范围【详解】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为， 又得，所以定义域为1，10 （2），设AB:由得kpx2+（8kp2）x8p=0，=（8kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0， kp2+8=0，得直线AB方程为，得,B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由即p280,得时，OAOB，所以，当时，经点A至P路程最近【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键20.对于函数，定义f1（x）=f（x），fn+1（x）=ffn（x）（nN*），已知偶函数g（x）的定义域为（，0）（0，+），g（1）=0，当x0且x1时，g（x）=fxx（x）（1）求f2（x），f3（x），f4（x），fxx（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（ab），使得函数g（x）在a，b上的值域为mb，ma，求实数m的取值范围【答案】（1）见解析； （2）g（x）= ；（3）（，0）.【解析】【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可【详解】（1）因为函数定义f1（x）=f（x），fn+1（x）=ffn（x）（nN*），f1（x）=，f2（x）=ff1（x）= =，（x0且x1），f3（x）=ff2（x）= =x，（x0且x1），f4（x）=ff3（x）= ，（x0且x1），故对任意的nN，有f3n+i（x）=fi（x）（i=2，3，4），于是fxx（x）=f3672+2=f2（x）=1，（x0且x1）；（2）当x0且x1时，g（x）=fxx（x）=1，又g（1）=0，由g（x）为偶函数，当x0时，x0，g（x）=g（x）=1+，可得g（x）=；（3）由于y=g（x）的定义域为（，0）（0，+），又ab，mbma，可知a与b同号，且m0，进而g（x）在a，b递减，且ab0，当a，b（0，1）时，g（x）=1为增函数，故，即m=，得a1=b1，即a=b，与ab矛盾，此时a，b不存在；函数y=g（x）的图象，如图所示由题意，有，故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2x1=0在（，0）上有两个不相等的实根，于是，解得m0综合上述，得实数m的取值范围为（，0）【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题21.对于无穷数列an，记T=x|x=ajai，ij，若数列an满足：“存在tT，使得只要amak=t（m，kN*，mk），必有am+1ak+1=t”，则称数列具有性质P（t）（1）若数列an满足 ，判断数列an是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列an具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知bn是各项均为正整数的数列，且bn既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得aN，aN+1，aN+2，aN+K，是等差数列【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.【解析】【分析】（1）由，可得a2a1=2，但a3a2=12，数列an不具有性质P（2）；同理可判断数列an具有性质P（4）；（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，T=1，0，1是有限集，利用新定义可证数列an不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列bn是各项为正整数的数列，且bn既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得bN，bN+1，bN+2，bN+k，是等差数列【详解】（1），a2a1=2，但a3a2=12，数列an不具有性质P（2）；同理可得，数列an具有性质P（4）（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，T=1，0，1是有限集，但是由于a2a1=0，a3a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列an具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且mk，满足amak=0，即am=ak由性质P（0）的含义可得am+1=ak+1，am+2=ak+2，a2mk1=am1，a2mk=am，所以数列an中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak，ak+1，am1为一个周期中的各项，所以数列an中最多有m1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集；（3）证明：因为数列bn具有性质P（2），数列bn具有性质P（5），所以存在M、N，使得bM+pbM=2，bN+qbN=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P（2），P（5）的含义可得，bM+p+kbM+k=2，bN+q+kbN+k=5，若MN，则取k=NM，可得bN+pbN=2；若MN，则取k=MN，可得bM+qbM=5记M=maxM，N，则对于bM，有bM+pbM=2，bM+qbM=5，显然pq，由性质P（2），P（5）的含义可得，bM+p+kbM+k=2，bN+q+kbN+k=5，所以bM+qpbM=（bM+qpbM+（q1）p）+（bM+（q1）pbM+（q2）p）+（bM+pbM）=2qbM+qpbM=（bM+pqbM+（p1）q）+（bM+（p1）qbM+（p2）q）+（bM+qbM）=5p所以bM+qp=bM+2q=bM+5p所以2q=5p，又p，q是满足bM+pbM=2，bM+qbM=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，bM+2bM=2，bM+5bM=5，所以，bM+2+kbM+k=2，bM+5+kbM+k=5，所以，bM+2k=bM+2（k1）+2=bM+2k，bM+5k=bM+5（k1）+5=bM+5k，取N=M+5，若k是偶数，则bN+k=bN+k；若k是奇数，则bN+k=bN+5+（k5）=bN+5+（k5）=bN+5+（k5）=bN+k，所以，bN+k=bN+k，所以bN，bN+1，bN+2，bN+k，是公差为1的等差数列【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题