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专题13 两招破解平面向量难题一【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二【平面向量解题方法规律】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积ab0，尽量用坐标运算.三【平面向量题型分析】（一）平面向量基本定理的应用例1设为所在平面内一点，若，则（ ）A-2 B C D2【答案】A【解析】由，根据向量运算的“三角形法则”可得，结合，求得的值，从而可得结果.【详解】，故选A. 【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题.（二）向量中的最值问题例2设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.练习1已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则对于任意的最小值为_.【答案】【解析】当且仅当， 时，取得最小值此时，取得最小值练习2在边长为1的正ABC中，=x，=y，x0，y0且x+y=1，则的最大值为（）A B C D【答案】C【解析】，由此能求出当时，的最大值为 练习1在中，过中线的中点任作一直线分别交边、于、两点,设,则的最小值是 【答案】【解析】，共线，当且仅当时等号成立，故最小值为 【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算，实质就是求出满足的等量关系，题中唯一的关系就是三点共线，由此联想平面向量的一个定理：是平面的一个基底， ，则三点共线这样只要由平面向量的线性运算把用表示出来就可得的等量关系然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值练习2如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，则的最小值是 .【答案】考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义. 方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件得到，再把已知条件，代入得到，根据三点共线得，利用均值不等式得到，而，从而求得的最小值是.练习3在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，三点共线，则A B C D【答案】B（七）坐标法解决向量问题例7如图，在矩形中， ， ，点为的中点，如果，那么的值是_【答案】9【解析】建立如图所示的直角坐标系，则,. 练习2如图，为的外心，为钝角，是边的中点，的值（ ） A 4 B.6 C7 D 5 【答案】D练习3是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定经过的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】B【解析】解出，计算并化简可得出结论【详解】（），即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过ABC的垂心故选：B练习4已知点O是锐角ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则的值为（）A B C D【答案】D【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出的值 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。练习1若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形，AB交y轴于C,且则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【详解】设A（x1，y1），y1f（x1），B（x2，y2），y2g（x2）x23+x22（x0），又，则，x22x1，由题意，即0，e1x1e21，则设h（x），则h（x），令,则u（x）=0在e1xe21恒成立，所以单增，所以=0，h（x）0，即函数h（x）在（e1xe21）上为增函数，则，即4e-2a实数a的取值范围是故选：B 【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题（十）向量的几何意义例10已知，是单位向量，0若向量满足|1，则|的最大值为（）A B C D【答案】C【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出【详解】练习1的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C练习2已知在平面四边形中， ，,，点为边上的动点，则的最小值为A B C D【答案】C【解析】以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点作轴，过点作轴，设，当时，取得最小值为，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题
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