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专题37 随机事件、古典概型和几何概型一、考纲要求：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式3.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.5.了解几何概型的意义二、概念掌握及解题上的注意点：1.概率与频率的关系概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.3.复杂事件的概率的两种求法(1）)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算.(2）)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便.4.求古典概型概率的步骤(1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3）利用公式P(A)，求出事件A的概率.5.确定基本事件个数的方法：(1）基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.(2）利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件.6.与长度有关的几何概型如果试验结果构成的区域可用长度度量，则其概率的计算公式为P(A).7.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.三、高考考题题例分析：例1.（2018全国卷I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则（）Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p3【答案】A例2.（2018全国卷II）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）ABCD【答案】C例3.(2016天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()ABCD【答案】A【解析】：事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.例4.(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率【答案】(1) 0.6；(2) Y的所有可能值为900,300，100. Y大于零的概率的估计值为0.8.【解析】：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100.所以，Y的所有可能值为900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()ABCD1【答案】C4下面三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是() ABCD【答案】D5在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为() ABCD【答案】B【解析】：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P.6一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()ABCD【答案】A【解析】：先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1.共有43112种不同排法又卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P.7.某车间共有12名工人，随机抽取6名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图1053所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人要从这6人中，随机选出2人参加一项技术比赛，选出的2人至少有1人为优秀工人的概率为()图1053ABCD【答案】C8设实数a(0,1)，则函数f(x)x2(2a1)xa21有零点的概率为() ABCD【答案】D【解析】：由函数f(x)x2(2a1)xa21有零点，可得(2a1)24(a21)4a30，解得a，即有a1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P，故选D.9已知圆C：x2y24，直线l：yx，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为()ABCD【答案】D【解析】：如图所示，设与yx平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线yx的距离相等，过点A作AE垂直于直线yx，垂足为E，当点A到直线yx的距离为1时，AE1，又CA2，则ACE，所以ACBFCD，所以所求概率P，故选D.10安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()ABCD【答案】B11掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为() ABCD【答案】C【解析】：掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，P()1P(B)1.表示“出现5点或6点”的事件，事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().12设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()ABCD【答案】D二、填空题13一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_. 【答案】【解析】：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.14某城市2017年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为_【答案】【解析】：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P. 22某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值【答案】(1) P(A)的估计值为0.55；(2) P(B)的估计值为0.3；. (3)192 5a.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
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