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专题23三角形中的三角函数本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7三角形的综合【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理高考模拟：一、单选题1在三棱锥中，点在底面的正投影恰好落在等边的边上，点到底面的距离等于底面边长.设与底面所成的二面角的大小为，与底面所成的二面角的大小为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：作出两二面角的平面角，如图PDO和PEO，而在等边中，ODOE等于的高为定值，再把表示出来，求出，最后由ODOE为定值可求得最小值.详解：如图，O是P在底面ABC上的正投影，ODAC，OEBC，垂足为D，E，则PDO，PEO，设，则，又， ，当且仅当时取等号，的最小值为.故选C.点睛：过等边的边AB上任一点E作另两边的垂线，垂足分别为M，N，则为定值（等于三角形的高），这可由面积法得证.2在中，的面积为2，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用3已知:锐角的内角的对边分别为,三边满足关系(1)求内角的大小;(2)求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由已知根据余弦定理可得(2)ABC是锐角三角形，可知，求得，进而得到的取值范围.详解：（1）由已知得： (2)ABC是锐角三角形点睛：本题考查利用余弦定理解三角形，以及三角函数的性质，属基础题.4已知函数（1）求函数的最大值和最小值；（2）为的内角平分线，已知，求角的大小【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小详解：(1)在上单增，上单减，；（2）中，中，中，中，点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 5已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角的对边为，若，求中线的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可利用周期的公式，得到函数的最小正周期；（2）由（1）知，在中，又，在中，由正弦定理，得，在中，由余弦定理得点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项（）求角；（）设，求周长的最大值【答案】(1)60；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，由正弦定理，即，解得，所以 法二：由题，由余弦定理得： ，解得，所以 （2）法一：由余弦定理及基本不等式， ，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为 法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，当时，周长的最大值为点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到7的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若成等差数列，且的周长为，求的面积.【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）由,利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式结合诱导公式可得,从而可得结果；（2）由成等差数列，的周长为，可得，由余弦定理利用三角形面积公式可得结果.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.8在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）若，的周长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由，根据正弦定理得，可得 所以，从而可得结果；（2）由，可得，可求得，由此以，根据周长为可求得，从而可得结果.详解：（1）因为，由正弦定理得所以 所以，且所以.（2）因为，所以，所以，或 解得：或 因为，所以所以， 所以因为，所以所以.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.9在中，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据，得出，结合余弦定理即可求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高；（2）设，根据推出角必为锐角，结合为锐角三角形可得，根据余弦定理即可求得的取值范围，从而可得的周长的取值范围.详解：（1）.由等面积法可得，则.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.10已知,分别为三个内角的对边，,.（1）求；（2）若的中点，求,.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）把用正弦定理化边为角，再化后，变形可解得角，然后由向量的数量积定义可求得，从而易得三角形面积；（2）由D为中点得，平方后结合数量积的运算可求得的一个等式，结合（1）中的可解得.详解：（1） （2） ，点睛：本题是数量积与解三角形的综合考查，解题时需掌握两方面的概念与公式，第（2）解题关键是应用结论，这样可借助数量积表示出的关系.实际上三角形的中线与三边长还有如下关系：（在和中利用可得.11在ABC中，角A,B,C的对边分别为，已知，且.（1）求角A的大小；（2）设函数，求函数的最大值【答案】（1）（2）2【解析】分析：（1）由余弦定理易得，由正弦定理可得，进而得，即可得A；（2）由（1）得 当，即时，.点睛：本题主要考查了三角形正余弦定理的应用及三角函数的最值，属于基础题.12在中，角A、B、C所对的边分别为，已知， ，角A为锐角（1）求与的值；（2）求的值及三角形面积【答案】（1） （2） 【解析】 分析：第一问首先利用题中的条件，利用倍角公式，结合A为锐角的条件，求得的值，之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值，在求边长的时候，就利用正弦定理可以求得结果；第二问结合题中所给的条件，利用余弦定理建立边所满足的等量关系式，求得结果，之后应用面积公式求得三角形的面积.详解：（1）由正弦定理，代入， 为，解为 角A为锐角， （2） ，代入为 ，解为点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式，在做题的过程中，在求的时候，也可以应用倍角公式求解.13在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c= ，角A为锐角(1)求与a的值；(2)求b的值及三角形面积【答案】(1) ,.(2) ,.【解析】分析：（1）直接利用正弦定理和已知条件求a的值，再求cosA的值，再利用平方关系求sinA的值. (2)利用余弦定理求b,再利用三角形的面积公式求面积.详解：（1）由正弦定理，代入c= ，得，解为,因为 又因为角A为锐角，所以 （2）因为 所以，解得b=5.所以 点睛：（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边，利用余弦定理解题效率最高.所以本题已知, c= 求b，利用余弦定理一步到位求出b. 14在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.15如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为.（1）求的长；（2）若， ， ， ，求信号塔的高度.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：（1）在中， ， ， ，由正弦定理可得；（2）结合（1），在三角形中，利用正弦定理化简求解即可.详解：（1）在中， ， ， .由正弦定理， ；（2）由（1）及条件知， ， ， ， .由正弦定理得点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16在中，内角所对的边分别是，已知（）求；（）当时，求的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】分析：（）方法一，可用正弦定理将条件边化角得 ，由式子左边及两角和的正弦公式和诱导公式可将变为，得。利用两角和的正弦公式变形为，变形得，由，可得，由，可得。方法二，可用余弦定理将条件角化边得，整理变形可得，由余弦定理的推论可求得 。（）由（）知，已知，知对边对角，故可由正弦定理：得：，进而得，因为。所以 。所以，再利用两角和的正弦公式与辅助角公式可得，由，可得，利用正弦函数的图像与性质可得范围.详解：（1）由正弦定理可得：，又，所以，所以，因为，所以点睛：（1）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；（2）求的取值范围，应将角的个数转化为一个，如，然后用辅助角公式化成一个角的三角函数，用三角函数的性质求取值范围。17已知在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得详解：(1)由题意及正、余弦定理得， 整理得，（2）由题意得， ，. 由余弦定理得， ，当且仅当时等号成立 面积的最大值为点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明18在中，（1）若，求的最大值；（2）若，为垂足，求的值【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由题意，将f（A）化简可得f（A）=sin（2A）+，分析2A的范围，结合正弦函数的性质可得答案；（2）由余弦定理可知，即可得AC的值，进而分析可得，分析可得答案详解：（1），当时，有最大值（2）由余弦定理可知，故，又，点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19已知.（1）求函数的最小正周期；（2）若、分别是内角、所对的边，且.求的值.【答案】（1）；（2）详解：（1).函数的最小正周期.（2)根据正弦定理可得：，.代入得： ，即.又 .,.，即：.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围20已知，设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围.【答案】(1), ;(2).【解析】分析：（1）由，令，即可求得函数的单调递增区间.（2）由，利用正弦定理得，得，求得，即可得到的取值范围.（2）由可知 ，（当且仅当时取等号），所以，综上，的取值范围为.点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.21（本题满分14分）已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）在中，角、的对边分别为、，若满足，且是的中点，是直线上的动点，求的最小值【答案】（）增区间为（）【解析】分析: (1)先化简函数f(x)得，再求函数的单调增区间.（2）先化简得再利用对称性结合数形结合求的最小值.详解：（）， 由于，所以，所以增区间为 （）由得，所以作C关于AB的对称点, 连由余弦定理得所以当共线时，取最小值点睛：本题的难点在第（2）问，直接处理比较困难，利用对称性结合数形结合分析解答，才比较简洁.类似这种在一条线段上找点，求线段和的最值，一般利用对称性结合数形结合解答.22已知向量，将的图像向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由题意，化简得，利用图象的变换得；（2）由，求得，在由正弦定理求得，及的值，即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积（2）， ， ， ；由正弦定理得，即解得， ，所以 .点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.23已知函数.(I)求函数的对称中心及最小正周期;()的外接圆直径为,角所对的边分别为.若.且,求的值【答案】（I）对称中心（），最小正周期为.（）.【解析】分析：(I)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的对称性性可得到函数的对称中心；（）由求出的值，根据正弦定理确定的值，由，利用正弦定理可得，利用两角和的正弦公式展开，将的值代入，从而可得结果.详解：（I） , 对称中心（），最小正周期为 , （） , ，, ，, 又 ,即 , 即， , , .点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强. 解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.24在中，角，的对边分别为，且，（1）求角；（2）若的面积为，求的周长【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）把已知的边角关系用正弦定理转化为角的关系，再由两角和的正弦公式化简可得；（2）由面积公式可求得，由余弦定理又可得一关于的等式，可用配方法求得，从而得三角形周长.详解：（1），由正弦定理可得：，即，又，则（2）由的面积为，则，由余弦定理 ，得，则周长点睛：解三角形问题，主要是正确选择正弦定理或余弦定理，一般是用正弦定理或余弦定理进行边角转化，即把已知条件转化纯粹的“角”的关系或“边”的关系，如果是“角”的关系，正面要用到三角函数恒等变换公式（两角和与差的正弦、余弦公式）化简求出角（或角的一个三角函数值），如是“边”的关系，则进行代数式的恒等变形，得出边之间的简单关系式，从而判断三角形是等腰或等边或直角三角形。 25在中，分别是角的对边，向量，向量，且.（1）求的大小；（2）若，求的最小值.【答案】(1);(2)1.【解析】分析：（1）由，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，根据A与B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的值；（2）由余弦定理结合均值不等式知，又，从而得到最小值.详解：（1），由正弦定理得，.，（2）由余弦定理知 . .的最小值为1，当且仅当时取“=”.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.26在中，内角所对的边分别为，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值范围是.【解析】分析：（1）利用可得：，结合余弦定理可求角的大小；（2）利用内角和定理及两角和与差正弦公式可得：，由正弦型函数的图象与性质可得的取值范围.详解：（1） 又 点睛：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解三、填空题27在中，内角的对边分别为，且满足，为锐角，则的取值范围为_【答案】【解析】分析：由题意首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：由结合正弦定理可得：，且，为锐角，则：，即，据此有：，即，据此可得：，则的取值范围为.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围28在锐角三角形中，的对边长分别是，则的取值范围为_.【答案】点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解答中注意锐角三角形的范围的确定是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力.29如图，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，当变化时，对角线的最大值为_【答案】【解析】分析：设，由正弦定理可得从而可得 进而可得结果.详解：设，则由余弦定理可得，由正弦定理可得 时，有最大值，故答案为. 点睛：本题主要考查余弦定理及及正弦定理的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.30四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， _【答案】【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时的值.
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