2017-2018学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法优化练习 新人教A版选修4-5.doc

一 数学归纳法课时作业 A组基础巩固1用数学归纳法证明当nN时，122225n1是31的倍数时，当n1时原式为()A1B12C1234 D12222324解析：左边122225n1，所以n1时，应为12251112222324.答案：D2记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A. BC2 D答案：B3已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26C36 D6解析：f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，易知f(n)能被36整除，且36为m的最大值答案：C4某同学回答“用数学归纳法证明n1(nN)”的过程如下：证明：(1)当n1时，显然命题是正确的；(2)假设nk时有k1，那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时命题是正确的由(1)、(2)可知对于nN，命题都是正确的以上证法是错误的，错误在于()A从k到k1的推理过程没有使用归纳假设B归纳假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D当n1时，验证过程不具体解析：证明(k1)1时进行了一般意义的放大而没有使用归纳假设1)时，第一步应验证n_时，命题成立，当nk1时左边的式子为_解析：由于n1，第一步应验证n2时，命题成立，当nk1时，左边的式子应为2232k2(k1)2.答案：22232k2(k1)27用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用归纳假设应将5k12k1变形为_解析：假设当nk时，5k2k能被3整除，则nk1时，5k12k15(5k2k)32k由假设知5k2k能被3整除，32k能被3整除故5(5k2k)32k能被3整除答案：5(5k2k)32k8设平面内有n条直线(n2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数所以f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2)所以f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)9用数学归纳法证明：147(3n2)n(3n1)(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，当n1时命题成立(2)假设当nk(kN，k1)时命题成立，即147(3k2)k(3k1)当nk1时，147(3k2)3(k1)2k(3k1)(3k1)(3k25k2)(k1)(3k2)(k1)3(k1)1即当nk1时命题成立综上(1)(2)知，对于任意nN原命题成立10证明对任意正整数n,34n252n1能被14整除证明：(1)当n1时，34n252n136538541461能被14整除，命题成立(2)假设当nk时命题成立，即34k252k1能被14整除，那么当nk1时，34(k1)252(k1)134k23452k15234k23452k13452k13452k15234(34k252k1)52k1(3452)34(34k252k1)5652k1，因34k252k1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k1)252(k1)1能被14整除，故命题成立由(1)(2)知，命题对任意正整数n都成立B组能力提升1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n1都是连续的，因此当nk1时，左边应为12222k12k，而右边应为2k11.答案：D2k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1 Bf(k)kCf(k)k1 Df(k)k2解析：当k棱柱变为k1棱柱时，新增的一条棱与和它不相邻的k1条棱确定k2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k1个对角面答案：C3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_解析：nk时等式为1222(k1)2k2(k1)22212，nk1时等式为1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.nk1时等式左边比nk时等式左边增加了k2(k1)2.答案：k2(k1)2(或2k22k1)4设数列an满足a12，an12an2，用数学归纳法证明an42n12的第二步中，设nk时结论成立，即ak42k12，那么当nk1时，_.解析：当nk1时，把ak代入，要将42k2变形为42(k1)12的形式即ak12ak22(42k12)242k242(k1)12答案：ak142(k1)125求证：凸n边形对角线条数f(n)(nN，n3)证明： (1)当n3时，f(3)0，三角形没有对角线，命题成立(2)假设nk(kN，k3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k).将凸k边形A1A2Ak在其外面增加一个新顶点A k1，得到凸k1边形A1A2AkAk1，Ak1依次与A2，A3，Ak1相连得到对角线k2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k1边形的一条对角线，则凸k1边形的对角线条数为：f(k)k21k1f(k1)即当nk1时，结论正确根据(1)(2)可知，命题对任何nN，n3都成立6是否存在常数a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由解析：假设存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知等式成立假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即当nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN*都成立