2018-2019高中数学 第一章 空间几何体 1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征学案 新人教A版必修2.doc

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面常见几何体可以分为多面体和旋转体梳理类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线知识点二棱柱的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEFABCDEF底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、知识点三棱锥的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、知识点四棱台的结构特征及棱柱、棱锥、棱台之间的关系1棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCDABCD上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系1棱柱的底面互相平行()2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥()3若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体()4棱柱的各个侧面都是平行四边形()5棱柱的两个底面是全等的多边形()类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征例1下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行其中正确说法的序号是_考点棱柱的结构特征题点棱柱的结构特征的应用答案(3)解析(1)错，底面可以不是平行四边形；(2)错，底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义可知反思与感悟棱柱结构特征的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除跟踪训练1下列说法正确的是()A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C棱柱的侧棱总与底面垂直D九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形考点棱柱的结构特征题点棱柱的概念答案D解析选项A，B都不正确，反例如图所示，C错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直根据棱柱的定义知D正确例2(1)下列三种叙述，正确的有()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个考点棱台的结构特征题点棱台的概念的应用答案A解析中的平面不一定平行于底面，故错；可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故错故选A.(2)下列说法中，正确的是()棱锥的各个侧面都是三角形；四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；棱锥的侧棱平行A B C D考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱交于一点不平行，故错反思与感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是_考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案解析正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥类型二多面体的识别和判断例3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由考点空间几何体题点空间几何体结构判断解(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1MCC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.引申探究把本例3的几何体换成如图所示的三棱柱ABCA1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由解截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1.反思与感悟解答识别和判断多面体的题目的关键是正确掌握棱柱的几何特征，在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置跟踪训练3如图所示，关于该几何体的正确说法有_(填序号)这是一个六面体；这是一个四棱台；这是一个四棱柱；此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到起点空间几何体题点空间几何体结构判断答案解析正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；都正确，如图所示类型三多面体的平面展开图例4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，BB15，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图解沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法： (1)若将C1D1剪开，使点A，B，C1，D1在一个平面内，可求得AC14.(2)若将AD剪开，使点A，D，C1，B1在一个平面内，可求得AC13.(3)若将CC1剪开，使点A，A1，C，C1在一个平面内，可求得AC1.相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.反思与感悟(1)多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题，常见的解法是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解(2)解答展开与折叠问题，要结合多面体的定义和结构特征，发挥空间想象能力，必要时可制作平面展开图进行实践跟踪训练4如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图解为五棱柱；为五棱锥；为三棱台1下面多面体中，是棱柱的有()A1个 B2个 C3个 D4个考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足2观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A是棱柱 B不是棱锥 C不是棱锥 D是棱台考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台，不是棱锥，故B错误3下列说法中正确的是()A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形考点棱柱的结构特征题点棱柱的结构特征的应用答案A解析棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错4某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图答案A解析两个相同的图案一定不能相邻，故B，C，D错误，只有A正确5一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_ cm.考点棱柱的结构特征题点与棱柱有关的运算答案12解析因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为12(cm)1棱柱、棱锥定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：有两个平面(底面)互相平行；其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形2根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力一、选择题1下面多面体中有12条棱的是()A四棱柱 B四棱锥 C五棱锥 D五棱柱考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案A解析n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱故选A.2有两个面平行的多面体不可能是()A棱柱 B棱锥C棱台 D以上都错考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案B解析由棱锥的结构特征可得3下列关于棱柱的说法中，错误的是()A三棱柱的底面为三角形B一个棱柱至少有五个面C若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形考点棱柱的结构特征题点棱柱的结构特征的应用答案C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确，故选C.4下面图形中是正方体展开图的是()考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图答案A解析由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；D折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体故选A.5如图所示，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A三棱锥 B四棱锥C三棱柱 D三棱台考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案B解析由题图知剩余的部分是四棱锥ABCCB.6若棱台上、下底面的对应边之比为12，则上、下底面的面积之比是()A12 B14C21 D41考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案B解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.7如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A棱柱 B棱台 C棱柱与棱锥的组合体 D不能确定考点棱柱的结构特征题点棱柱的结构特征的应用答案A解析根据图可判断为底面是梯形或三角形的棱柱8如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A(1)(2) B(2)(3) C(3)(4) D(1)(4)考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图答案B解析(1)图还原后，对面，对面，对面；(2)图还原后，对面，对面，对面；(3)图还原后，对面，对面，对面；(4)图还原后，对面，对面，对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)9在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A20 B15 C12 D10考点棱柱的结构特征题点与棱柱有关的运算答案D解析如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条)10以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成的三棱锥的个数是()A1 B2 C3 D0考点棱锥的结构特征题点与棱锥有关的运算答案C解析如图，分割为A1ABC，BA1CC1，C1A1B1B,3个棱锥二、填空题11如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是_(填序号)A1B12，AB3，B1C13，BC4；A1B11，AB2，B1C11.5，BC3，A1C12，AC3；A1B11，AB2，B1C11.5，BC3，A1C12，AC4；A1B1AB，B1C1BC，C1A1CA.考点棱台的结构特征题点棱台的概念的应用答案解析因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则A1B1C1ABC，所以.故选.12一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体对角线的长是_考点棱柱的结构特征题点与棱柱有关的运算答案解析设长方体长、宽、高为x，y，z，则yz，xz，yx，三式相乘得x2y2z26，即xyz，解得x，y，z1，所以.三、解答题13试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱考点空间几何体题点空间几何体结构应用解(1)如图所示，三棱锥A1AB1D1(答案不唯一)(2)如图所示，三棱锥B1ACD1(答案不唯一)(3)如图所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)四、探究与拓展14.如图，已知正三棱锥PABC的侧棱长为，底面边长为，Q是侧棱PA的中点，一条折线从A点出发，绕侧面一周到Q点，则这条折线长度的最小值为_考点空间几何体的平面展开图题点多面体的平面展开图答案解析沿着棱PA把三棱锥展开成平面图形，所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，因为点Q是PA的中点，所以在展开图中，AQ，故答案为.15给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用解如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底