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专题二 基本初等函数、函数与方程卷卷卷2018分段函数的零点问题T9_利用对数的性质比较大小T122017指数与对数的互化、对数运算、比较大小T11_函数的零点问题T112016利用幂函数、指数函数、对数函数单调性比较大小T8_利用指数函数与幂函数的单调性比较大小T6纵向把握趋势卷3年3考，涉及幂函数、指数函数、对数函数的单调性以及分段函数的零点问题，题型为选择题，难度适中，预计2019年会以对数的运算、对数函数的图象与性质为考查重点卷3年0考，预计2019年会以选择题的形式考查幂函数、指数函数、对数函数的有关性质或大小比较问题卷3年3考，涉及由函数零点个数确定参数问题以及指数、对数、幂函数的性质、比较大小问题题型为选择题，难度偏大，预计2019年仍会考查指数函数、对数函数、幂函数性质的应用横向把握重点1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第512题的位置，有时难度较大2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视.基本初等函数的图象与性质由题知法(1)(2019届高三辽宁五校联考)设a2 017，blog2 017，clog2 018，则()AcbaBbcaCacb Dabc(2)已知f (x)ax2，g(x)loga|x|(a0且a1)，若f (4)g(4)0，则，的大小关系不可能是()A. B.C. D.2 01701，0blog2 017log2 0172 0171，clog2 018bc.故选D.(2)f (x)ax20恒成立，又f (4)g(4)0，g(4)loga|4|loga40loga1，0a0，则x2k1，y3k1，z5k1.2k1，3k1，5k1.若0k；若k1，则函数f (x)xk11，；若k1，则函数f (x)xk1在定义域上单调递增，1和0a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a0和0两种情况的不同 应用通关1(2018厦门一模)已知a0.3，blog0.3，cab，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCacb Dbclog1，a0.301，caba.ca1，排除B、D；由x0时，g(x)0，排除A.故选C.函数的实际应用问题 由题知法(1)(2018开封模拟)李冶(11921279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)()A10步，50步 B20步，60步C30步，70步 D40步，80步(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为PP0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时解析(1)设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r40)步，由题意，得(2r40)23r213.75240，解得r10或r170(舍去)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.(2)前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t5时，P0.9P0，代入，得(ek)50.9，ek0.9，PP0ektP0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P0.81P0，代入得0.81t，解得t10，即需要花费10小时答案(1)B(2)10类题通法1解决函数实际应用题的2个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解2构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建f (x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解应用通关1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为()A1 B2C3 D4解析：选C设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往A地12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，y20x960(xN,0x6)若y1 000，则20x9601 000，得x2.又0x6，xN，x0,1,2，即有3种调运方案2某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)x210x；当年产量不小于80千件时，G(x)51x1 450.已知每件产品的售价为0.05万元通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元解析：每件产品的售价为0.05万元，x千件产品的销售额为0.051 000x50x万元当0x80时，年利润L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950，当x60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)950万元；当x80时，L(x)50x51x1 4502501 2001 2002 1 2002001 000，当且仅当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9500，则a(ex1ex1)2a，要使f (x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f (x)的零点不唯一综上所述，a.(二)特殊思路妙解题法三：由f (x)x22xa(ex1ex1)，得f (2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，所以f (2x)f (x)，即x1为f (x)图象的对称轴由题意，f (x)有唯一零点，所以f (x)的零点只能为x1，即f (1)1221a(e11e11)0，解得a.故选C.答案C启思维本题考查由函数零点情况求参数值思路一：先化简f (x)的表达式，再换元转化成关于t的函数，利用函数的有关性质求解思路二：先把f (x)转化为二次函数与指数型函数相等问题，再分别考察它们的值域，利用唯一性求解思路三：观察式子f (x)x22xa(ex1ex1)的结构特点可知，g(x)x22x与h(x)a(ex1ex1)都有对称性，可得出f (2x)f (x)，由对称性求解(2018全国卷)已知函数f (x)g(x)f (x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析令h(x)xa，则g(x)f (x)h(x)在同一坐标系中画出yf (x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf (x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.答案C启思维本题主要考查函数与方程本题以高中两个基本初等函数(指数函数和对数函数)为载体，构建分段函数，与函数零点结合，需借助函数图象解决问题破解此类题的关键：一是会转化，把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数的图象的交点问题；二是会借形解题，即画出两函数的图象，由图象的直观性，可快速找到参数所满足的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围知能升级已知函数有零点(方程有根)求参数(值)范围的3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围分离参数法先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解增分集训1(2018洛阳第一次统考)已知函数f (x)满足f (1x)f (1x)f (x1)(xR)，且当0x1时，f (x)2x1，则方程|cos x|f (x)0在1,3上的所有根之和为()A8 B9C10 D11解析：选D方程|cos x|f (x)0在1,3上的所有根之和即y|cos x|与yf (x)在1,3上的图象交点的横坐标之和由f (1x)f (1x)得f (x)的图象关于直线x1对称，由f (1x)f (x1)得f (x)的图象关于y轴对称，由f (1x)f (x1)得f (x)的一个周期为2，而当0x1时，f (x)2x1，在同一坐标系中作出yf (x)和y|cos x|在1,3上的大致图象，如图所示，易知两图象在1,3上共有11个交点，又yf (x)，y|cos x|的图象都关于直线x1对称，故这11个交点也关于直线x1对称，故所有根之和为11.2已知函数f (x)g(x)kx1，若方程f (x)g(x)0在x(2,2)上有三个实根，则实数k的取值范围为()A(1，ln 2) B.C. D(1，ln 2)解析：选D显然，x0不是方程f (x)g(x)0的根，则f (x)g(x)0，即k，可设k(x)由x0，可得(x)x4242，当且仅当x，即x1时等号成立，即有(x)在x0时，(x)ln x的导数为(x)，当x1时，(x)0，(x)在(1，)上单调递增；当0x1时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递减可得(x)在x1处取得最小值1.作出(x)在(2,2)上的图象如图所示，由图象得当1kln 2或k2时，直线yk和y(x)的图象均有三个交点则k的取值范围是(1，ln 2).专题跟踪检测(对应配套卷P167)一、全练保分考法保大分1若m，alg m，blg m2，clg3m，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbac Dbca解析：选Cm，1lg m0，lg3mlg m，即ca.又m，0m2m1，lg m2B.bac.故选C.2定义在R上的函数f (x)2|xm|1为偶函数，记af (log0.53)，bf (log25)，cf (2m)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCcab Dcba解析：选C函数f (x)为偶函数，m0，f (x)2|x|1.af (log0.53)f (log23)2log2312，bf (log25)2log2514，cf (0)2010.ca0恒成立，f (x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递增，排除C、D；当x时，2x0，1，f (x)1，排除B，选A.4已知函数f (x)则不等式log2x(log4x1)f (log3x1)5的解集为()A. B1,4C. D1，)解析：选C由不等式log2x(log4x1)f (log3x1)5，得或解得1x4或x1，则f (loga(1)()A1 B2C3 D4解析：选Bf (x)，f (x)，f (x)f (x)3.loga(1)loga(1)，f (loga(1)f (loga(1)3，f (loga(1)2.故选B.6(2019届高三贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为Mlg Alg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的()A10倍 B20倍C50倍 D100倍解析：选D根据题意有lg Alg A0lg 10Mlg(A010M)，所以AA010M，则100.故选D.7(2018菏泽一模)已知logalogb，则下列不等式一定成立的是()A.aCln(ab)0 D3ab1解析：选Alogab0，aab，1.因此只有A正确故选A.8已知实数x，y满足axay(0a Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3解析：选D实数x，y满足axay(0ay.对于选项A，等价于x21y21，即x2y，但x2ln(y21)等价于x2y2，当x1，y1时，满足xy，但x2y2不成立对于选项C，当x，y时，满足xy，但sin xsin y不成立对于选项D，当xy时，x3y3恒成立故选D.9(2018广元模拟)已知函数f (x)ex，g(x)ln，对任意aR，存在b(0，)使f (a)g(b)，则ba的最小值为()A21 Be2C2ln 2 D2ln 2解析：选D令tea，可得aln t，令tln，可得b2，则ba2etln t，令h(t)2eln t，则h(t)2e.显然，h(t)是增函数，观察可得当t时，h(t)0，故h(t)有唯一零点，故当t时，h(t)取得最小值，即ba取得最小值为2eln 2ln 2，故选D.10已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若f (1)，则x的取值范围是()A. B(0，e)C. D(e，)解析：选C函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (ln x)f f (ln x)f (ln x)f (ln x)f (ln x)2f (ln x)，f (1)等价于|f (ln x)|f (1)，又f (x)在区间0，)上单调递增，1ln x1，解得x0)在区间0,2上的最小值为g(m)已知定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且当x0时，h(x)g(x)，若h(t)h(4)，则实数t的取值范围为()A(4,0) B(0,4)C(2,0)(0,2) D(4,0)(0,4)解析：选D因为f (x)x2mx(m0)，所以f (x)2，因为f (x)在区间0,2上的最小值为g(m)，所以当0m4，即04，即2时，函数f (x)2在0,2上单调递减，所以g(m)f (2)42m.综上，g(m)因为当x0时，h(x)g(x)，所以当x0时，h(x)函数h(x)在(0，)上单调递减因为定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)h(4)，所以h(|t|)h(4)，所以0|t|4，所以即从而4t0或0t4.综上所述，实数t的取值范围为(4,0)(0,4)12(2019届高三昆明调研)若函数f (x)2x1x22x2，对于任意的xZ且x(，a)，f (x)0恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，3 D(，4解析：选D法一：f (x)2x1x22x20，即2x1x22x2.设g(x)2x1，h(x)x22x2，当x1时，0g(x)1，h(x)x22x21，所以当a1时，满足对任意的xZ且x(，a)，f (x)0恒成立；当1x4时，因为g(0)h(0)2，g(1)4h(1)5，g(2)8h(2)10，g(3)16h(3)17，所以10，所以F(x)2x1ln 22x2在4，)上是增函数，所以f (x)f (4)32ln 2100，所以函数f (x)2x1x22x2在4，)上是增函数，所以f (x)f (4)32168260，即a4时，不满足对任意的xZ且x(，a)，f (x)0恒成立综上，实数a的取值范围是(，4，故选D.法二：将问题转化为2x1x22x2对于任意的xZ且x(，a)恒成立后，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y2x1，yx22x2的图象如图所示，根据两函数图象的交点及位置关系，数形结合即可分析出实数a的取值范围是(，4，故选D.13函数f (x)ln(x22x8)的单调递增区间是_解析：由x22x80，得x4或x2.因此，函数f (x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)答案：(4，)14李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲5x2900x16 000，L乙300x2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为_元解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110x)辆，故利润L5x2900x16 000300(110x)2 0005x2600x15 0005(x60)233 000，当x60时，有最大利润33 000元答案：33 00015若函数f (x)与g(x)的图象关于直线yx对称，函数f (x)x，则f (2)g(4)_.解析：法一：函数f (x)与g(x)的图象关于直线yx对称，又f (x)x2x，g(x)log2x，f (2)g(4)22log246.法二：f (x)x，f (2)4，即函数f (x)的图象经过点(2,4)，函数f (x)与g(x)的图象关于直线yx对称，函数g(x)的图象经过点(4,2)，f (2)g(4)426.答案：616(2018福州模拟)设函数f (x)则满足f (x22)f (x)的x的取值范围是_解析：由题意x0时，f (x)单调递增，故f (x)f (0)0，而x0时，x0，故若f (x22)f (x)，则x22x，且x220，解得x2或x.答案：(，)(2，)17如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C，分别在函数ylogx，yx，yx的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是_解析：由2logx可得点A，由2x可得点B(4,2)，因为4，所以点C的坐标为，所以点D的坐标为.答案：18已知函数f (x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f (m)f (n)，若f (x)在m2，n上的最大值为2，则_.解析：f (x)|log3x|所以f (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f (m)f (n)，可得则所以0m2mf (m)f (n)，则f (x)在m2，n上的最大值为f (m2)log3m22，解得m，则n3，所以9.答案：919.(2018西安八校联考)如图所示，已知函数ylog24x图象上的两点A，B和函数ylog2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当ABC为正三角形时，点B的横坐标为_解析：依题意，当ACy轴，ABC为正三角形时，|AC|log24xlog2x2，点B到直线AC的距离为，设点B(x0,2log2x0)，则点A(x0，3log2x0)由点A在函数ylog24x的图象上，得log24(x0)3log2x0log28x0，则4(x0)8x0，x0，即点B的横坐标是.答案：20已知函数f (x)在0,1上单调递增，则a的取值范围为_解析：令2xt，t1,2，则y在1,2上单调递增当a0时，y|t|t在1,2上单调递增显然成立；当a0时，函数y，t(0，)的单调递增区间是，)，此时1，即0a1时成立；当a0时，函数yt，t(0，)的单调递增区间是，)，此时1，即1a0时成立综上可得a的取值范围是1,1答案：1,1二、强化压轴考法拉开分1设函数f (x)log4xx，g(x)logxx的零点分别为x1，x2，则()Ax1x21 B0x1x21C1x1x2log4x1，故log4x1logx20，log4x1log4x20，log4(x1x2)0，0x1x20时，f (x)的图象与直线y3x有两个交点，当x2.故选A.5(2019届高三西安八校联考)已知函数f (x)若方程f (x)ax0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A. B.C. D(，0解析：选B方程f (x)ax0有两个不同的实根，即直线yax与函数f (x)的图象有两个不同的交点作出函数f (x)的图象如图所示当x1时，f (x)ln x，得f (x)，设直线ykx与函数f (x)ln x(x1)的图象相切，切点为(x0，y0)，则，解得x0e，则k，即yx是函数f (x)ln x(x1)的图象的切线，当a0时，直线yax与函数f (x)的图象有一个交点，不合题意；当0a1)的图象有两个交点，但与yx1(x1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a时，直线yax与函数f (x)的图象至多有一个交点，不合题意；只有当a0，得x1，令f (x)0，得3x0，且t时，2m0，所以当t1时，2et20，由f (x)的图象可知，此时t2f (x)有2个不同的实数根，t1f (x)有1个根，所以方程f 2(x)mf (x)0有3个不同的实数根，当t1时，t22e，由f (x)的图象可知，此时t2f (x)有1个根，t1f (x)有2个不同的实数根，所以方程f 2(x)mf (x)0有3个不同的实数根，当0t1时，t20且a1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是()A. B(1,4)C(1,8) D(8，)解析：选Df (x2)f (2x)，f (x4)f (2(x2)f (2(x2)f (x)f (x)，函数f (x)是一个周期函数，且T4.又当x2,0时，f (x)x1()x1，当x0,2时，f (x)f (x)()x1，于是x2,2时，f (x)()|x|1，根据f (x)的周期性作出f (x)的图象如图所示若在区间(2,6)内关于x的方程f (x)loga(x2)0有且只有4个不同的根，则a1且yf (x)与yloga(x2)(a1)的图象在区间(2,6)内有且只有4个不同的交点，f (2)f (2)f (6)1，对于函数yloga(x2)(a1)，当x6时，loga88，即实数a的取值范围是(8，)，所以选D.8已知在区间(0,2上的函数f (x)且g(x)f (x)mx在区间(0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由函数g(x)f (x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点，得yf (x)，ymx在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点当ymx与y3在(0,1内相切时，mx23x10，94m0，m，结合图象可得当m2或0m时，函数g(x)f (x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点
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