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第1章 常用逻辑用语对应学生用书P17一、命题及其关系1命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题2四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题二、充分条件、必要条件与充要条件 关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“pq”，且“p / q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；若“pq”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“p / q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”三、逻辑联结词1“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“pq”“pq”“綈p”三种形式2含逻辑联结词的命题的真假判断：“pq”中有真为真，“pq”有假为假，綈p与p真假相反3注意命题的否定与否命题的区别否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论四、全称命题和存在性命题1全称命题“xM，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可2存在性命题“xM，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立五、含有一个量词的命题的否定1全称命题的否定一定是存在性命题p：xM，p(x)成立；綈p：xM，綈p(x)成立2存在性命题的否定一定是全称命题p：xM，p(x)成立；綈p：xM，綈p(x)成立3含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1命题：“若ab0，则a0或b0”的逆否命题是_答案：若a0且b0，则ab02命题“xR，x22x10”的否定是_解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题答案：xR，x22x103设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件解析：l1与l2平行的充要条件是a(a1)21，且a41(1)，可解得a1或a2，故a1是l1l2的充分不必要条件答案：充分不必要4已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数则下列命题中为真命题的是_(填所有真命题的序号)(綈p)q；pq；pq；(綈p)(綈q)解析：命题p真，命题q假，因此綈p假，綈q真，是假命题，假命题，真命题，真命题答案：5下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“正三角形的三个角均为60”的否命题；“若k0，则方程x2(2k1)xk0必有两相异实数根”的逆否命题其中真命题的个数是_个解析：显然假，真，对于，当k0，故为真答案：26(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的_条件解析：便宜没好货，等价于其逆否命题，好货不便宜，“不便宜”是“好货”的必要不充分条件答案：必要不充分7(湖南高考改编)“1x2”是“x2”成立的_条件解析：设Ax|1x2，Bx|x2，故AB，即当x0A时，有x0B，反之不一定成立因此“1x2”是“x0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为_解析：设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；由于an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题答案：p1，p410命题p：任意两个等边三角形都是相似的它的否定是_；否命题是_答案：存在两个等边三角形不相似如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11已知命题p：不等式|x1|m的解集是R，命题q：f(x)在区间(0，)上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是_解析：命题p：m0，命题q：m2.p与q一真一假，或解得0m2.答案：0,2)12下列结论中正确命题的个数是_命题p：“xR，x220”的否定形式为綈p：“xR，x22N”是“()M()N”的充分不必要条件解析：对于，易知是正确的；对于，由綈p是q的必要条件知：q綈p则p綈q，即p是綈q的充分条件，正确；对于，由MN不能得知()M()N，因此是错误的综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A1，p,2，B2,3，则“p3”是“ABB”的_；(2)“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上为增函数”的_解析：(1)当p3时，A1,2,3，此时ABB；若ABB，则必有p3.因此“p3”是“ABB”的充要条件(2)当a1时，f(x)|2xa|2x1|在上是增函数；但由f(x)|2xa|在区间上是增函数不能得到a1，如当a0时，函数f(x)|2xa|2x|在区间上是增函数因此“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上为增函数”的充分不必要条件答案：(1)充要条件(2)充分不必要条件14已知命题p：“x0,1，aex”，命题q：“xR，x24xa0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为_解析：由x0,1，aex，得ae；由xR，x24xa0，得424a0，解得a4，从而a的取值范围为e,4答案：e,4二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x210；(4)p：x，yR，x2y22x4y50.解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除綈p为真命题(2)綈p：所有的素数都不是偶数因为2是素数也是偶数，故綈p为假命题(3)綈p：对任意的实数x，都有x210.綈p为真命题(4)綈p：x0，y0R，xy2x04y050.綈p为真命题16(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)若，则sin sin ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若ab，cd，则acbd.解：(1)逆命题：若sin sin ，则；否命题：若，则sin sin ；逆否命题：若sin sin ，则.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若acbd，则ab，cd；否定题：已知a，b，c，d都是实数，若ab或cd，则acbd；逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若acbd，则ab或cd.17(本小题满分14分)已知p：2x29xa0，q：且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解：由得即2x3.q：2x3.设Ax|2x29xa0，Bx|2x3，綈p綈q，qp.BA.即2x3满足2x29xa0.设f(x)2x29xa，要使2x3满足不等式2x29xa0，需有即a9.实数a的取值范围是a|a918(本小题满分16分)设有两个命题：p：关于x的不等式x22x4a0对一切xR恒成立；q：已知a0，a1，函数y|a|x在R上是减函数，若pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围解：不等式x22x4a0对xR恒成立，x22x4a对xR恒成立，令yx22x4，ymin5，a5，命题p即为p：a5，函数y|a|x(a0，a1)在R上是减函数，|a|1，a1或a1，pq为假，pq为真，p，q一真一假，或5a1.即实数的取值范围是(5，1)(1，)19(本小题满分16分)已知p：2；q：x22x1m2(m0)若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：法一：由x22x1m2(m0)，得1mx1m.綈q：Ax|x1m，m0由2，得2x10.綈p：Bx|x10綈p是綈q的必要不充分条件，且m0，AB.解得m9.注意到当m9时，中等号成立，而中等号不成立实数m的取值范围是.法二：綈p是綈q的必要不充分条件q是p的必要不充分条件p是q的充分不必要条件CD，又p：Cx|2x10，q：Dx|1mx1m，m0，解得m9.故实数m的取值范围是.20(本小题满分16分)已知命题p：不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，命题q：sin xcos xm.如果对于任意的xR，命题p是真命题且命题q为假命题，求m的范围解：对于命题p：(1)当m10时，原不等式化为20恒成立，满足题意(2)当m10时，只需得1mm是假命题，则m.综上，m的取值范围是，9)
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