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专题突破练15空间中的平行与空间角1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1底面ABC,A1AC=60,AC=2AA1=4,点D,E分别是AA1,BC的中点.(1)证明:DE平面A1B1C;(2)若AB=2,BAC=60,求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值.2.(2018河南安阳一模,理19)如图,在空间直角坐标系O-xyz中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶点A,B,C分别在x轴,y轴,z轴上.(1)求证:CD平面OAB;(2)求二面角C-AB-D的余弦值.3.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.4.(2018江苏盐城模拟,25)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,点M是BC的中点.(1)求异面直线AC1与DM所成角的余弦值;(2)求直线AC1与平面AD1M所成角的正弦值.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.6.(2018江苏卷,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.7.如图1,在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,将BCD沿对角线BD折起到BCD的位置,使平面BCD平面ABD,E是BD的中点,FA平面ABD,且FA=2,如图2.(1)求证:FA平面BCD;(2)求平面ABD与平面FBC所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得CM平面FBC?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.参考答案专题突破练15空间中的平行与空间角1.(1)证明 取AC的中点F,连接DF,EF,E是BC的中点,EFAB.ABC-A1B1C1是三棱柱,ABA1B1,EFA1B1,EF平面A1B1C.D是AA1的中点,DFA1C,DF平面A1B1C.又EFDF=F,平面DEF平面A1B1C,DE平面A1B1C.(2)解 过点A1作A1OAC,垂足为O,连接OB,侧面ACC1A1底面ABC,A1O平面ABC,A1OOB,A1OOC.A1AC=60,AA1=2,OA=1,OA1=AB=2,OAB=60,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OAABcosBAC=3,OB=,AOB=90,OBAC.分别以OB,OC,OA1为x轴、y轴、z轴,建立如图的空间直角坐标系O-xyz,由题设可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D0,-,E设m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一个法向量,则令z1=1,则m=(1,-,1),cos=,直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为2.解 (1)由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.设OA=a,则AB=a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),如图:设D点的坐标为(x,y,z),则由DA=DB=DC=a,可得(x-a)2+y2+z2=x2+(y-a)2+z2=x2+y2+(z-a)2=2a2,解得x=y=z=a,所以=(a,a,0).又平面OAB的一个法向量为=(0,0,a),所以=0,所以CD平面OAB.(2)设F为AB的中点,连接CF,DF,则CFAB,DFAB,CFD为二面角C-AB-D的平面角.由(1)知,在CFD中,CF=DF=aa,CD=a,则由余弦定理知cosCFD=,即二面角C-AB-D的余弦值为3.(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解 由已知得BAAD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设=,则x=,y=1,z=由解得(舍去),所以M,从而设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则即所以可取m=(0,-,2).于是cos=因此二面角M-AB-D的余弦值为4.解 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.M(1,2,0),A(2,0,0),C1(0,2,4),=(1,2,0),=(-2,2,4),所以cos=,所以异面直线AC1与DM所成角的余弦值为(2)=(2,0,4),设平面A1DM的一个法向量为n=(x,y,z).则取y=1,得x=-2,z=1,故平面A1DM的一个法向量为n=(-2,1,1).于是cos=,所以直线AC1与平面A1DM所成角的正弦值为5.(1)证明 设AC,BD交点为E,连接ME.因为PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.(2)解 取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD,所以OPOE.因为ABCD是正方形,所以OEAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=于是n=(1,1,),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).所以cos=由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为(3)解 由题意知M,C(2,4,0),设直线MC与平面BDP所成角为,则sin =|cos|=所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为6.解 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OBOC,OO1OC,OO1OB,以为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P,从而=(0,2,2),故|cos|=因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为(2)因为Q为BC的中点,所以Q,因此=(0,2,2),=(0,0,2).设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,则即不妨取n=(,-1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为,则sin =|cos|=,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为7.(1)证明 BC=CD,E为BD的中点,CEBD.又平面BCD平面ABD,且平面BCD平面ABD=BD,CE平面ABD.FA平面ABD,FACE.又CE平面BCD,FA平面BCD,FA平面BCD.(2)解 以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C(0,0,),=(-1,-,2),=(-1,0,).设平面FBC的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则m=(,1,1).平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),cos=则平面ABD与平面FBC所成角的余弦值为(3)解 假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得CM平面FBC,设=,则(x,y+,z)=(-1,0)=(-,0),x=-,y=(-1),z=0.而=(-,(-1),-),由m,得,无解.线段AD上不存在点M,使得CM平面FBC.
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