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专题25平面向量的基本定理和向量的坐标运算本专题特别注意：1.平面向量基本定理的应用问题2. 基本定理的两条路径法表示向量问题3. 数形结合的应用4.向量于线性规划问题等综合问题 5. 向量的坐标表示及运算性质6.向量共线与垂直的坐标表示7.向量与数列的综合8.向量与解析几何的综合【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件【方法总结】1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系。 2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.高考模拟：一、单选题1在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用2在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若= + ，则+的最大值为A. 3 B. 2 C. D. 2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，若满足，则 ，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3若直线与函数，图像交于异于原点不同的两点，且点，若点满足，则( )A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】C【解析】分析：由直线x+ky=0过原点，函数f（x）是定义域R上的奇函数；知直线x+ky=0与函数f （x）图象的交点A，B关于原点对称，得出，再由向量相等列方程组求出m、n的值，再求m+n由直线x+ky=0（k0）与函数f（x）的图象交于不同的两点A，B，则A、B关于原点对称，又点C（9，3），即（m9，n3）=（2m，2n），解得，m+n=4故答案为：C点睛：（1）本题主要考查了奇函数的性质与平面向量的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是先要研究函数f(x)的奇偶性，后面才能迎刃而解.研究函数的问题，要联想到利用函数的性质（奇偶性、单调性和周期性）来分析解答问题.4一直线与平行四边形中的两边分别交于，且交其对角线于，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，理清点M的位置是关键，所以显得尤为重要，之后利用向量的关系求得结果.5设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.6已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用向量的线性运算把用表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系详解：，即，又， 故选B点睛：等差数列问题可用基本量法求解，即把已知条件用首项和公差表示并求出即可得通项公式和前项和公式基本量法的两个公式：， 7已知中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，由相似比可以求出m的值，根据的面积为，求出,再求，根据基本不等式求出最小值。详解：过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，则,因为，所以求出，设，则由三角形面积公式有，而，则，故的最小值为，选D.点睛：本题主要考查平面向量的数量积的应用以及基本不等式等，属于中档题。由向量加法的平行四边形法则和相似比求出实数的值，是解题的关键。9在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，若，则的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值.详解： 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A.点睛：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.10在中，点满足.若存在点，使得，且，则（ ）A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】分析： 由，可得，求得，解得，从而可得结果.详解： ，可得，故选D.点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于难题向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.11设点在的外部，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：有公共边，故以为轴建立平面直角坐标系后的比和的两点的纵坐标的比值有关，再把题设中的向量关系转化为坐标关系可得两点的纵坐标的比值.同理可得 的面积之比，两者结合求得.详解：如图，建立平面直角坐标系，则.设，故，所以，同理，故，故，选B.点睛：向量的线性运算，如果几何运算比较复杂，则可以转化为坐标来进行计算.12如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，当点在线段上时，当在四边形内（含边界）时，（），又，作出不等式组（）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，即，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第象限有，第象限有，第象限有，第象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.13已知为锐角的外心， ， 若，且.记 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D， .由得根据余弦定理可得在中，由大边对大角得： .，且余弦函数在上为减函数故选D.点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.14设是所在平面上的一点，若，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用向量的加法运算，设的中点为D，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD中点，从而得解.详解：由，可得.设的中点为D，即.点P是ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.当且仅当，即点与点重合时，有最小值.故选：C.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决15已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得， ，利用配方法可得的最小值.详解：以为原点，以为轴，建立坐标系，为边长为的正三角形， ，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则；（）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）.16在直角梯形，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则，即，.，故选A.17已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，由，可得G为的重心，即有G点坐标为，由，可得IGx轴，即有I的纵坐标为，在中，则因为I为的内心，故有I的纵坐标即为内切圆半径，所以，故，即，整理得，故椭圆C的离心率选B点睛：（1）本题中的向量条件较多，解题时要根据所给的向量式得到相应的位置和数量关系，如在本题中得到点G为三角形的重心是解题的关键，并由此得到内心的纵坐标，然后利用面积的两种不同表现方式得到2c=a，从而得到离心率（2）求椭圆的离心率或其范围时，将提供的条件中的几何关系转化为关于椭圆的基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式可得所求18在给出的下列命题中，是假命题的是（ ）A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D19过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题， 设 ，不妨设点A位于第一象限，则由 可得 解方程可得 ，则 故点到圆上任意一点的距离的最大值为.20平行四边形中， ， ， ， 是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】，=9x2+4y2+2xy32（）=（3x+2y）233x2y（3x+2y）2（3x+2y）2=（3x+2y）2；又=1，即（3x+2y）21，所以3x+2y2，当且仅当3x=2y，即x=，y=时，3x+2y取得最大值2故选：B二、填空题21如图，在扇形AOB中，OA=4，AOB=120,P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C,若，则的值为_.【答案】4.【解析】分析：首先求得AOP的大小，然后利用数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，则，结合平面几何知识可得：，由向量的运算法则可知：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用22已知单位向量，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：已知，则；已知，其中，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；已知，则；已知，则三棱锥的表面积.其中真命题为_(写出所有真命题的序号)【答案】.【解析】 由题意，若，则，则，所以不正确；由，其中，向量的夹角取得最小值，两向量同向时，存在实数，满足，根据仿射的定义，可知是正确的；已知，则， 所以，所以是正确的；由，则三棱锥为正四面体，棱长为 ，其表面积为，所以不正确，故选.点睛：本题主要考查了向量的新定义运算，此类问题正确理解新定义的运算方式是解答的关键，对于向量问题：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 23已知是平面上一点， ， 若，则_；若，则的最大值为_【答案】 【解析】 由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点， 因为，所以，如图所示，则， （2）中，因为，所以，如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，此时最大值为，所以的最大值为点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决24在平面向量中有如下定理：设点、为同一平面内的点，则、三点共线的充要条件是：存在实数，使.试利用该定理解答下列问题：如图，在中，点为边的中点，点在边上，且， 交于点，设，则_【答案】【解析】三点共线，存在实数，使得，又，又三点共线，解得， 答案： 25如图，在等腰梯形中， 为的中点，点在以为圆心， 为半径的圆弧上变动， 为圆弧与交点若，其中，则的取值范围是_【答案】26在中， ， ， 是的外心，若，则_.【答案】【解析】由题意可得： ，则：，如图所示，作,则，综上有： ，求解方程组可得： ，故.27如图所示，在中， 与是夹角为的两条直径， 分别是与直径上的动点，若，则的取值范围是_【答案】【解析】设的半径为，以为原点， 为轴建立直角坐标系，如图所示，则，设， ，其中， ， ， ， ， ，又， ， ，即的取值范围是，故答案为.28如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.（1）若为中点, _（用,表示）（2）已知下列四个向量:; ; .对于点,落在阴影区域内（不含边界）的点有_（把所有符合条件点都填上）【答案】 【解析】若为中点,则由向量的加法法则可得 ；设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为 ，则存在实数，使得 且存在实数，使得 从而 且 又由于 ，故 对于中 ，解得 满足也满足，故满足条件对于 解得 ，满足也满足故满足条件，对于 解得，不满足，故不满足条件，对于 解得 ，不满足，故不满足条件，故答案为(1). (2). 29在中，且在上，则线段的长为_【答案】1【解析】，且在上，线段为的角平分线，以A为原点，如图建立平面直角坐标系，则，D故答案为：130如图,在中， 若 则=_【答案】【解析】依题意有，而，故，所以填31在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_.【答案】故答案为： .32向量， ， 在正方形网格中的位置如图所示.若，则_【答案】1【解析】 所以33设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为_【答案】【解析】由向量平行的充要条件有： ，据此可得： ，其中 整理可得： ，当 时满足题意，否则：当 时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.34如图，在梯形ABCD中， ，P为线段CD上一点，且，E为BC的中点，若，则的值为_【答案】【解析】，整理得到，又，所以，也就是， ，填35矩形中， ， ， 矩形内部一点，且，若，则的取值范围是_【答案】【解析】以点A为原点， 为轴， 为轴建立平面直角坐标系， , , ,根据 可知， ，因为 ，所以 ， 那么 ，而 ，所以 ，即 的取值范围是 .【点睛】求 这类型含有两个变量的值的取值范围问题，（1）一般可将问题转化为线性规划问题，前面的条件可转化为关于的约束条件，（2）或是利用基本不等式求取值范围，可将条件转化为和或积的定值求解，（3）或是转化为函数问题， 根据条件转化的等式，通过消元转化为一个变量的函数问题求解.36已知分别是的边的中点，且则（1）；（2）；（3）；（4）,其中正确的等式是_【答案】点睛：1、本题考查平面向量的基本定理的应用等知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力.2、在解答此类问题时，熟练掌握向量的三角形法则、平行四边形法则是解题的关键3、用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底表示向量，再通过向量的运算来解决37已知为的边的中点，在所在的平面内有一点，满足，则下列命题正确的有_；是的重心；和的面积满足；是的内部.【答案】【解析】由得： ，所以组成平行四边形，所以在的外部，为的边的中点， 和的面积满足即正确，错误，正确，错误，故答案为.38已知平面向量 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a的分解有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使 ；给定向量和，总存在实数，使；给定单位向量和正数 ，总存在单位向量C和实数，使 ；给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使 .则所有正确的命题序号是_.【答案】【解析】逐一考查所给的命题：给定向量，总存在向量，使 ；给定向量和，总存在实数，使；给定单位向量和正数 ，不一定总存在单位向量C和实数，使 ；给定正数和，不一定存在单位向量和单位向量，使 .则所有正确的命题序号是.39平面上点为坐标原点， ， 是平面上任意一点且满足，则点坐标是_。【答案】【解析】可化为，设C(x,y)， ，所以C，填。40如图，在矩形中， ， ，点为的中点，点在边上，若，则的值是_ 【答案】【解析】点睛：本题考查平面向量的综合应用。本题中利用平面向量的线性表示，得到，展开得到，由数量积的几何意义可知， ，所以解得答案。41已知是边长为2的正三角形， ， 分别为边， 的中点，则_； 若，则_【答案】 （1） （2）【解析】, ,，故答案为（1）；(2) .
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