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2.5.2离散型随机变量的方差与标准差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差知识点一方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：X012PY012P思考1试求E(X)，E(Y)思考2能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X的均值为，其概率分布表如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn方差：V(X)2_，其中，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.变形公式：V(X)pi2.标准差：_.意义：方差刻画了随机变量X与其均值的_程度(2)方差的性质：V(aXb)_.知识点二两点分布、超几何分布与二项分布的方差1两点分布：若X01分布，则V(X)_.2超几何分布：若XH(n，M，N)，则V(X).3二项分布：若XB(n，p)，则V(X)_.类型一求随机变量的方差例1在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值(2)求X取每个值的概率(3)写出X的概率分布(4)由均值的定义求E(X)(5)由方差的定义求V(X)跟踪训练1甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差类型二两点分布与二项分布的方差例2某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差反思与感悟解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1p)(其中p为成功概率)跟踪训练2(1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，V(X)20，则p_.(2)设的分布列为P(k)Ck5k(k0,1,2,3,4,5)，则V(3)_.1已知随机变量X的概率分布为X101P则下列式子：E(X)；V(X)；P(X0).其中正确式子的序号为_2同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为，则V()_.3已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)0，V(X)1，则a_，b_.X1012Pabc4.已知随机变量XB(100,0.2)，那么V(4X3)的值为_5编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和V()1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差V(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散2求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)答案精析问题导学知识点一思考1E(X)012，E(Y)012.思考2不能，因为E(X)E(Y)思考3方差梳理(1)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn平均偏离(2)a2V(X)知识点二1p(1p)3.np(1p)题型探究例1解X的可能取值为1,2,3,4,5.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)1.X的概率分布为X12345P由定义知，E(X)(12345)3，V(X)(2212021222)2.跟踪训练1解(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，则P(A)P10.6，P(B)P2，P(AB)1P( )1(1P1)(1P2)P1P2P1P20.92，0.6P20.6P20.92，则0.4P20.32，即P20.8.(2)P(X0)P()P()0.40.20.08，P(X1)P(A)P()P()P(B)0.60.20.40.80.44.X的概率分布为X012P0.080.440.48E(X)00.0810.4420.480.440.961.4，V(X)(01.4)20.08(11.4)20.44(21.4)20.480.156 80.070 40.172 80.4.例2解(1)用表示抽得的正品数，则0,1.服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98，所以V()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用X表示抽得的正品数，则XB(10,0.98)，所以V(X)100.980.020.196，标准差为0.44.跟踪训练2(1)(2)10解析(1)由题意知，解得p.(2)由题意知，B，则V()5，所以V(3)9V()910.当堂训练12.3.4.2565解的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(0)；1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(1)；3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(3).所以的概率分布为013PE()0131.V()(01)2(11)2(31)21.
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