资源描述
第八章 解三角形章末检测一、选择题1.在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A.(0， B.，)C.(0， D.，)答案C解析由正弦定理，得a2b2c2bc，由余弦定理，得a2b2c22bccosA，则cosA，0A，0A.2.在ABC中，sinA，a10，则边长c的取值范围是()A.B.(10，)C.(0,10) D.答案D解析，csinC.00)，根据余弦定理得，cosC.5.在ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案C解析由cosAcosBsinAsinB，得cosAcosBsinAsinBcos(AB)0，AB90，C为钝角.6.在ABC中，已知a，b，A30，则c等于()A.2B.C.2或D.以上都不对答案C解析a2b2c22bccosA，515c22c.化简得：c23c100，即(c2)(c)0，c2或c.7.已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k，则k的取值范围是()A.(2，) B.(，0)C.(，0) D.(，)答案D解析由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m0)，即k.8.ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A.B.C.D.9答案C解析设另一条边为x，则x22232223，x29，x3.设cos，则sin.2R，R.9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形答案A解析依题意得cosA，sinCsinBcosA，所以sin(AB)sinBcosA，即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0，所以cosBsinA0，于是有cosBBC,3b20acosA，则sinAsinBsinC为()A.432B.567C.543D.654答案D解析由题意可设ab1，cb1.又3b20acosA，3b20(b1).整理得，7b227b400.解得，b5，故a6，b5，c4，即sinAsinBsinCabc654.二、填空题11.已知ABC中，3a22ab3b23c20，则cosC的大小是_.答案解析由3a22ab3b23c20，得c2a2b2ab.根据余弦定理，cosC，所以cosC.12.在ABC中，若bc2a,3sinA5sinB，则角C_.答案解析由已知3sinA5sinB，利用正弦定理可得3a5b.由3a5b，bc2a，利用余弦定理得cosC.C(0，)，C.13.在ABC中，已知cosA，cosB，b3，则c_.答案解析在ABC中，cosA0，sinA.cosB0，sinB.sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB.由正弦定理知，c.14.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路上测得小岛在南偏西15的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_km.答案解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1km.由正弦定理得，BCsin15 (km).设C到直线AB的距离为d，则dBCsin75 (km).三、解答题15.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，cosB.(1)若b4，求sinA的值；(2)若ABC的面积SABC4，求b，c的值.解cosB0，且0B，sinB.(1)若b4，由正弦定理得，sinA.(2)SABCacsinB4，2c4，c5.由余弦定理得b2a2c22accosB225222517，b.16.在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值.解(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cosA.(2)由(1)知cosA，所以sinA.又因为B2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.17.如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，BEC.(1)求sinCED的值；(2)求BE的长.解如图，设CED.(1)在CDE中，由余弦定理，得EC2CD2DE22CDDEcosEDC.于是由题设知，7CD21CD，即CD2CD60.解得CD2(CD3舍去).在CDE中，由正弦定理，得.于是，sin，即sinCED.(2)由题设知，0，于是由(1)知，cos.而AEB，所以cosAEBcos()coscossinsincossin.在RtEAB中，cosAEB，故BE4.18.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇.解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10(海里)，此时v30(海里/时).即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时.故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
展开阅读全文