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2.4.2 抛物线的简单几何性质课时作业A组基础巩固1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222x解析：在方程2x4y110中，令y0得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x，故选C.答案：C2已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点答案：C3过抛物线y22px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB的值为()A4 B4 Cp2 Dp2解析：kOAkOB，根据焦点弦的性质x1x2，y1y2p2，故kOAkOB4.答案：B4已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|2|BF|，则k的值是()A. B. C2 D.解析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A作AA1m，过点B作BB1m，垂足分别为A1，B1，过点B作BDAA1于点D，设|AF|2|BF|2r，则|AA1|2|BB1|2|A1D|2r，所以|AB|3r，|AD|r，则|BD|2r.所以ktan BAD2.选C.答案：C5已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即点M(2,0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123，当且仅当y1时，等号成立答案：B6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为1.答案：8已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_解析：抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.答案：9已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3.直线的方程为y13(x4)，即3xy110.10已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长AB3，(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且ABP的面积为9，求P点的坐标解析：(1)由4x24(m1)xm20，由根与系数的关系得x1x21m，x1x2，|AB|.由|AB|3，即3m4.(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d，又SABP|AB|d，则d，|a2|3a5或a1，故点P的坐标为(5,0)或(1,0)B组能力提升1若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A. B.C. D.解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为.答案：B2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，5，又p0，解得p2或p8，故选C.答案：C3已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：设AB的方程为xmy4，代入y24x得y24my160，则y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232当m0时，yy最小值为32.答案：324如图，抛物线C1：y22px和圆C2：(x)2y2，其中p0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为_解析：易知|AB|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.当直线l的斜率不存在时，l的方程为x，所以A(，p)，B(，)，C(，)，D(，p)，|，所以；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|FA|FB|x1x1，同理|CD|x2，设l的方程为yk(x)，由，可得k2x2(pk22p)x0，则|AB|CD|x1x2.综上，.答案：5.如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.联立方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB，以k代换xB中的k，得xC，kBC.直线BC的斜率为定值6(xx高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解析：(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点
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