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三 排序不等式 1顺序和、乱序和、反序和设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，称a1b1a2b2anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bna2bn1anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)称a1c1a2c2ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和点睛排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小例1已知a，b，c为正数，且abc，求证：.思路点拨分析题目中已明确abc，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可证明ab0，于是，又c0，从而，同理，从而.又由于顺序和不小于乱序和，故可得.原不等式成立利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组1已知0(sin 2sin 2sin 2)证明：0，且ysin x在为增函数，ycos x在为减函数，0sin sin cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2设x1，求证：1xx2x2n(2n1)xn.证明：x1，1xx2xn.由排序原理得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn,1为1，x，x2，xn的一个排列，由排序原理得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，即xx3x2n1xn(n1)xn.将相加得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)例2设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.思路点拨本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设abc，再利用排序不等式加以证明证明由对称性，不妨设 abc，于是a12b12c12，故由排序不等式：顺序和乱序和，得.又因为a11b11c11，.再次由排序不等式：反序和乱序和，得.所以由得a10b10c10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系3设a，b，c都是正数，求证：abc.证明：由题意不妨设abc0，由不等式的单调性，知abacbc，.由排序不等式，知abacbcabacbcacb，即abc.4设a1，a2，a3为正数，求证：a1a2a3.证明：不妨设 a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和得a2a3a3a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3.1有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是()A100,85B100,80C95,80 D95,85解析：选B由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.2若0a1a2,0b1b2，且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是()Aa1b1a2b2 Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1 D.解析：选A因为0a1a2,0b1b2，所以由排序不等式可知a1b1a2b2最大3锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的大小关系为()APQBPQCPQ D不能确定解析：选C不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.4儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花()A76元 B20元C84元 D96元解析：选A设a11(件)，a22(件)，a33(件)，b110(元)，b213(元)，b320(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3a2b2a3b112021331076(元)5已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c12c23c3的最大值是_，最小值是_解析：由反序和乱序和顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32286设正实数a1，a2，an的任一排列为 a1，a2，an，则的最小值为_解析：不妨设00，则lg alg blg c，据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上两式相加，再两边同加alg ablg bclg c，整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc).9某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知mnp，abc，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：mnp，abc，且由排序不等式知顺序和为最大值，最大值为manbpc，此时分数最高，三人上场顺序是A第一，B第二，C第三10已知0abc，求证：.证明：因为0abc，所以00，又0a2b2c2，所以是顺序和， 是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式成立
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