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3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离【选题明细表】 知识点、方法题号两直线的交点1,5,6,9两点间的距离2,3对称问题7,11,13综合应用问题4,8,10,12基础巩固1.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为(C)(A)-24(B)6(C)6(D)24解析:在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=k3,在x-ky+12=0中,令x=0,得y=12k,所以12k=k3,解得k=6.选C.2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(C)(A)1 (B)-5(C)1或-5 (D)-1或5解析:因为|AB|=(a+2)2+(3+1)2=5,所以a=-5或a=1,故选C.3.(2018临沂高一测试)已知ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(a2,32a),则ABC的形状是(C)(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形解析:因为kAC=32aa2+a=33,kBC=32aa2-a=-3,kACkBC=-1,所以ACBC,又|AC|= (a2+a)2+(32a)2=3|a|.|BC|=(a2-a)2+(32a-0)2=|a|.所以ABC为直角三角形.4.过两直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是(B)(A)x-3y+7=0 (B)x-3y+13=0(C)2x-y+7=0 (D)3x-y-5=0解析:直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点为(-1,4),与l1垂直,得斜率为13,由点斜式得y-4=13(x+1),即x-3y+13=0,故选B.5.(2018广东广州荔湾区期末)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是(A)(A)-6k-2 (B)-5k-3(C)k-2解析:解方程组y=-2x+3k+14,x-4y=-3k-2,得x=k+6,y=k+2.因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,所以x=k+60,y=k+20,所以-6k-2.故选A.6.(2018四川雅安期末)不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y- (k-11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是.解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得2x-y-1=0,-x-3y+11=0,解得x=2,y=3,所以不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点(2,3).答案:(2,3)7.(2018河南鹤壁高一期末)点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标 .解析:设点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标为(a,b),则b+2a-51=-1,a+52-b-22+5=0,解得a=-7,b=10,故点Q的坐标为(-7,10).答案:(-7,10)8.已知ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程.解:因为ACBH,所以由kBH=12得kAC=-2,因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),则AB中点M的坐标为(y+5,y+12),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)- y+12-5=0,解得y=-3,因此B(-1,-3),所以,由两点式可得BC方程为y+33+3=x+14+1化简得6x-5y-9=0.能力提升9.ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于(A)(A)3 (B)1+22(C)1+33 (D)2-22解析:因为SABC=92,AC:x2+y3=1,即3x+2y-6=0.由3x+2y-6=0,x=a,得x=a,y=6-3a2,由题意得12a(3-6-3a2)=94,得a=3或a=-3(舍).10.直线y=-33x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边ABC,则点C的坐标为 .解析:由题意得A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,易知ACx轴,所以点C的坐标为(3,2).答案:(3,2)11.(2018重庆万州区期末)若ABC的一个顶点是A(3,-1),B,C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则BC边所在的直线方程为.解析:因为B,C的平分线分别是x=0,y=x,所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.则A(3,-1)关于x=0的对称点A(-3,-1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A(-1,3)也在直线BC上,由两点式得,y-3-1-3=x-(-1)-3-(-1),所求直线BC的方程为2x-y+5=0.答案:2x-y+5=012.矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0,它的对角线的交点M的坐标是(-1,1),求边BC和边CD所在直线的方程.解:联立方程组x-2y+4=0,2x+y-7=0,得x=2,y=3.所以点A的坐标为A(2,3).因为点M(-1,1)是AC的中点,设点C的坐标为C(x0,y0),则有2+x02=-1且3+y02=1解得x0=-4,y0=-1,所以点C的坐标为(-4,-1),因为CDAB,BCAD,所以kBC=kAD=-2,kCD=kAB=12,所以直线BC的方程是y-(-1)=-2x-(-4),即2x+y+9=0,直线CD的方程是y-(-1)=12x-(-4),即x-2y+2=0.探究创新13.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P.(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使|PA|-|PB|最大.解:(1)可判断A,B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1,y1),则有x1+22+2y1+32-2=0,y1-3x1-2(-12)=-1,解得x1=-25,y1=-95.由直线的两点式方程得直线A1B的方程为y-1-95-1=x-4-25-4,即y=711(x-4)+1,由x+2y-2=0,y=711(x-4)+1得直线A1B与l的交点为P(5625,-325),由平面几何知识可知,此时|PA|+|PB|最小.(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为y-31-3=x-24-2,即x+y-5=0.由x+2y-2=0,x+y-5=0得直线AB与l的交点为P(8,-3),此时|PA|-|PB|最大.
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