2019-2020年高考数学一模试卷 理（含解析） (II).doc

2019-2020年高考数学一模试卷 理（含解析） (II)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=（x，y）|y=3x，B=（x，y）|y=2x，则AB=（）A0B1C（0，1）D（1，0）2（5分）已知复数z=，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）函数f（x）=（x+1）|log2x|1的零点个数为（）A1B2C3D44（5分）给定两个命题：p：aR，使y=x2+为偶函数；q：xR，（sinx1）（cosx1）0恒成立其中正确的命题的为（）ApqBpqCpqDpq5（5分）某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘成如图所示的茎叶图，若两种品牌销量的平均数为与，方差为S甲2与S乙2，则（）A，s甲2S乙2B，S甲2S乙2C，S甲2S乙2D，S甲2S乙26（5分）已知数列an是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A12B24C24D487（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的k值为5，则输入的整数p的最大值为（）A7B15C31D638（5分）某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A2+2B4+2C6D89（5分）若函数f（x）=sin（x）（0）在区间（0，）上单调递增，则的取值范围是（）A（0，B1，C1，2D（0，210（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若OAB（O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=111（5分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若ABC的面积为，A=15，则+的值为（）AB2C2D12（5分）已知a、bR，当x0时，不等式ax+blnx恒成立，则a+b的最小值为（）A1B0CD1本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若变量x、y满足条件，则z=2xy的最小值为14（5分）已知双曲线C1：=1（a0，b0）与C2：=1（a0，b0），给出下列四个结论：C1与C2的焦距相等；C1与C2的离心率相等；C1与C2的渐近线相同；C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等其中一定正确的结论是（填序号）15（5分）已知D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17（12分）已知Sn是首项不为零的等差数列an的前n项和，且a1+a2=a3，a1a2=a6（1）求an和Sn；（2）求证：+18（12分）a、b、c、d四名运动员争夺某次赛事的第1、2、3、4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组2人，第一轮比赛（半决赛）：两组各进行一场比赛决出各组的胜者和负者；第二轮比赛（决赛）：两组中的胜者进行一场比赛争夺第1、2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3、4名，4名选手以往交手的胜负情况如表所示： ab c d a a20胜10负 a13胜利26负 a18胜18负 b b10胜20负b28胜14负 b19胜19负 c c26胜13负 c14胜28负 c17胜17负 d d18胜18负 d19胜19负d17胜17负 若抽签结果为甲组：a、d，乙组：b、c，每场比赛中，以双方以往交手各自获胜的概率作为其获胜的概率（1）求a获得第1名的概率；（2）求a的名次的分布列及数学期望19（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，如图2（1）若二面角ABDC的余弦值为，求证：AC平面BCD；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值20（12分）已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：（i）直线AB的方程；（ii）FAB与FCB的面积之比21（12分）已知函数f（x）=xlnxx2（aR）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，求证：+2ae请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23（10分）已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（aR）（1）当a=2时，求不等式f（x）4；（2）当a时，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围河南、河北、山西三省xx届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=（x，y）|y=3x，B=（x，y）|y=2x，则AB=（）A0B1C（0，1）D（1，0）考点：交集及其运算专题：集合分析：直接作出两个集合中函数的图象得答案解答：解：作出函数y=3x与y=2x的图象如图，由图可知，AB=（0，1）故选：C点评：本题考查了交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题2（5分）已知复数z=，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，可得复数z对应点的坐标，可得答案解答：解：由复数的运算可得z=，故复数z对应点为（，），位于第三象限，故选：C点评：本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题3（5分）函数f（x）=（x+1）|log2x|1的零点个数为（）A1B2C3D4考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：由f（x）=0，得|log2x|=，然后在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=的图象，利用图象观察函数零点的个数解答：解：函数的定义域为x|x0，由f（x）=0，得log2x=，在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=的图象如图：由图象可知两个函数只有2个交点，函数f（x）=（x+1）|log2x|1的零点个数为2个故选：B点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键4（5分）给定两个命题：p：aR，使y=x2+为偶函数；q：xR，（sinx1）（cosx1）0恒成立其中正确的命题的为（）ApqBpqCpqDpq考点：复合命题的真假专题：简易逻辑分析：根据偶函数的定义域关于原点对称，从而容易判断p是假命题，而根据正弦函数、余弦函数的值域容易判断出q是真命题，所以根据pq，pq，q的真假和p，q真假的关系即可找到正确的命题解答：解：函数y=的定义域为x|x1，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数；命题p是假命题；sinx10，cosx10；（sinx1）（cosx1）0；命题q是真命题；pq是假命题，q是假命题，pq是假命题，pq是假命题，pq是真命题正确的命题为D故选：D点评：考查偶函数的定义域的特点，sinx1，cosx1，以及命题pq，pq，q的真假和命题p，q真假的关系5（5分）某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘成如图所示的茎叶图，若两种品牌销量的平均数为与，方差为S甲2与S乙2，则（）A，s甲2S乙2B，S甲2S乙2C，S甲2S乙2D，S甲2S乙2考点：极差、方差与标准差；茎叶图专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，求出甲、乙品牌的平均数与方差，比较即可解答：解：甲品牌的平均数是=（17+25+22+28+33）=25，方差是=（2517）2+（2522）2+（2525）2+（2528）2+（2533）2=；乙品牌的平均数是=（18+19+27+36+35）=27，方差是=（2718）2+（2719）2+（2727）2+（2736）2+（2735）2=；，故选：A点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求平均数与方差的应用问题，是基础题目6（5分）已知数列an是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A12B24C24D48考点：等比数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设等比数列an的公比为q，利用等比数列的通项公式得出q2=2，再求值即可解答：解：设等比数列an的公比为q，且q0，a2+a6=3，a6+a10=12，q4=4，q2=2，a8+a12=q6（a2+a6）=24故选：B点评：本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题7（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的k值为5，则输入的整数p的最大值为（）A7B15C31D63考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S k循环前/0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 3 2第三圈 是 7 3第四圈 是 15 4第五圈 是 31 5第六圈 否故S=15时，满足条件SpS=31时，不满足条件Sp故输入的整数p的最大值为31故选：C点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8（5分）某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A2+2B4+2C6D8考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由三视图得该几何体是五面体，再由三视图求出五面体中有关集合元素的长度，代入梯形、等腰直角三角形的面积公式，再相加求出五面体的表面积解答：解：由三视图得，该几何体是五面体，如图所示，底面是矩形ABCD，AB=2，AD=1，EF平行底面，EF=1，过点E作EMAB，垂足为M，则AM=，则EM=1即DE=AE=，S梯形ABFE=S梯形CDEF=（1+2）1=，SADE=SBCF=，S矩形ABCD=21=2，该几何体表面积=2+2+2=6故选：C点评：本题考查五面体的三视图，梯形、等腰直角三角形的面积计算公式，解题的关键是由三视图正确还原几何体，并求出几何体中几何元素的长度，考查了空间想象能力9（5分）若函数f（x）=sin（x）（0）在区间（0，）上单调递增，则的取值范围是（）A（0，B1，C1，2D（0，2考点：正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：由正弦函数的增区间求出三角函数f（x）=sin（x）（0）的增区间，取k=0得一个增区间为，由求得的取值范围解答：解：由x，得，取k=0，得，函数f（x）=sin（x）（0）在区间（0，）上单调递增，即又0，的取值范围是（0，故选：A点评：本题给出函数y=Asin（x+）的一个单调区间，求的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题10（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若OAB（O为坐标原点）的面积为2，则椭圆C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1考点：椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知得，由此能求出椭圆C的方程解答：解：椭圆C：+=1（ab0）与抛物线y2=x交于A、B两点，OAB（O为坐标原点）的面积为2，设A（x，），B（x，），解得x=2，由已知得，解得a=2，b=2，椭圆C的方程为+=1故选：A点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用11（5分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若ABC的面积为，A=15，则+的值为（）AB2C2D考点：解三角形专题：解三角形分析：由面积公式可得2bc=，结合余弦定理可得+=2（sinA+cosA）=2sin（A+45），代值计算可得解答：解：由题意可得ABC的面积S=bcsinA=，2bc=，由余弦定理可得cosA=sinA，+=2（sinA+cosA）=2sin（A+45）=2sin60=故选：D点评：本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题12（5分）已知a、bR，当x0时，不等式ax+blnx恒成立，则a+b的最小值为（）A1B0CD1考点：函数恒成立问题；基本不等式专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：令y=lnxaxb，求出导数，当a0时，y0，函数递增，无最值当a0时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到a+b的不等式，再令f（a）=a1lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到a+b的最小值解答：解：令y=lnxaxb，则y=（x0），当a0时，y0，函数递增，无最值当a0时，0x时，y0，函数递增；当x时，y0，函数递减则x=处取得极大值，也为最大值，且为lna1b当x0时，不等式ax+blnx恒成立，即有lna1b0，即b1lna，a+ba1lna，令f（a）=a1lna，f（a）=1=，当a1时，f（a）0，f（a）递增；当0a1时，f（a）0，f（a）递减则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0即有a+b0即有a+b的最小值为0故选：B点评：本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）若变量x、y满足条件，则z=2xy的最小值为2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，由最优解可得z=2xy的最小值解答：解：由约束条件作出可行域如图，化z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz与y=2x+2重合时，直线y=2xz在y轴上的截距最大，z有最小值，最小值为2故答案为：2点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）已知双曲线C1：=1（a0，b0）与C2：=1（a0，b0），给出下列四个结论：C1与C2的焦距相等；C1与C2的离心率相等；C1与C2的渐近线相同；C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等其中一定正确的结论是（填序号）考点：双曲线的简单性质专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论解答：解：C1与C2的c都等于，C1与C2的焦距相等；双曲线C1离心率为，双曲线C2离心率为，C1与C2的离心率不一定相等；双曲线C1与C2的渐近线都为y=x，即C1与C2的渐近线相同；C1的焦点（c，0）到其渐近线的距离=b，C2的焦点（0，c）到其渐近线的距离=a，故C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离不一定相等故答案为：点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础15（5分）已知D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：如图所示，BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，=3x+，=1，2x+y=x，y0，当且仅当y=2x=时取等号则xy的最大值为故答案为：点评：本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比解答：解：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，设三棱柱是直三棱柱，底面ABBC，且设AB=BC=AA1=2，QB=1，MB=1，NC=1，PC1=1，棱柱体积V=4，下部分体积V下=VPAQCVMAQB=，上部分体积V上=VV下=4=，较小部分与较大部分的体积之比为：=故答案为：点评：本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17（12分）已知Sn是首项不为零的等差数列an的前n项和，且a1+a2=a3，a1a2=a6（1）求an和Sn；（2）求证：+考点：数列的求和；等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an和Sn（2）由=，利用裂项求和法能证明+=（1）解答：（1）解：设an的公差为d，由已知得，解得a1=d=3，an=3+（n1）3=3nSn=3n+=（2）=，+=（1+）=（1）点评：本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用18（12分）a、b、c、d四名运动员争夺某次赛事的第1、2、3、4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组2人，第一轮比赛（半决赛）：两组各进行一场比赛决出各组的胜者和负者；第二轮比赛（决赛）：两组中的胜者进行一场比赛争夺第1、2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3、4名，4名选手以往交手的胜负情况如表所示： ab c d a a20胜10负 a13胜利26负 a18胜18负 b b10胜20负b28胜14负 b19胜19负 c c26胜13负 c14胜28负 c17胜17负 d d18胜18负 d19胜19负d17胜17负 若抽签结果为甲组：a、d，乙组：b、c，每场比赛中，以双方以往交手各自获胜的概率作为其获胜的概率（1）求a获得第1名的概率；（2）求a的名次的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）设a分别与b，c，d比赛时，a获胜为事件Ab，Ac，Ad，则P（Ab）=，P（Ac）=，P（Ad）=，设b分别与a，c，d比赛时，b获胜为事件Ba，Bc，Bd，则，P（Bc）=，P（Bd）=，设c分别与a，b，d比赛时，获胜为事件Ca，Cb，Cd，则P（Ca）=，P（Cb）=，P（Cd）=，设d分别与a，b，c比赛时，d获胜为事件Da，Db，Dc，则P（Da）=，P（Db）=，P（Dc）=，若a获得第一名，则甲组中a胜，且a与乙中的胜者比赛进仍获胜，由此能求出a获得第1名的概率（2）a的名次的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出a的名次的分布列及数学期望解答：解：（1）设a分别与b，c，d比赛时，a获胜为事件Ab，Ac，Ad，则P（Ab）=，P（Ac）=，P（Ad）=，设b分别与a，c，d比赛时，b获胜为事件Ba，Bc，Bd，则，P（Bc）=，P（Bd）=，设c分别与a，b，d比赛时，获胜为事件Ca，Cb，Cd，则P（Ca）=，P（Cb）=，P（Cd）=，设d分别与a，b，c比赛时，d获胜为事件Da，Db，Dc，则P（Da）=，P（Db）=，P（Dc）=，若a获得第一名，则甲组中a胜，且a与乙中的胜者比赛进仍获胜，a获得第1名的概率：P=P（Ad）P（Bc）P（Ab）+P（Ad）P（Cb）P（Ac）=，a获得第1名的概率为（2）a的名次的可能取值为1，2，3，4，P（=1）=P（Ad）P（Bc）P（Ab）+P（Ad）P（Cb）P（Ac）=，=2，表示甲组中a胜，且a与乙中的胜者比赛时负，P（=2）=P（Ad）P（Bc）P（Bd）+P（Ad）P（Cb）P（Ac）=，=3表示甲组中a负，且a与乙组的负者比赛时获胜，P（=3）=P（Da）P（Bc）P（Ac）+P（Da）P（Ca）P（Ab）=，P（=4）=1P（=1）P（=2）P（=3）=，的分布列为： 1 2 3 4 PE=点评：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题19（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，如图2（1）若二面角ABDC的余弦值为，求证：AC平面BCD；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）设AC，BD交于点O，CO=BO=DO=，AB=AD=2，AO=，将ABD沿BD折起，AOBD，COBD，CO=，AOC是二面角ABDC的平面角，设AC=x，解得AC=2，由勾股定理得BCAC，DCAC，由此能证明AC平面BCD（2）三棱锥ABCD的体积最大时，AC平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成角的正弦值解答：解：（1）证明：在图（1）中，设AC，BD交于点O，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，A=60，C=90，CD=CB=2，CO=BO=DO=，AB=AD=2，AO=，将ABD沿BD折起，AOBD，COBD，CO=，AOC是二面角ABDC的平面角，设AC=x，二面角ABDC的余弦值为，解得x=2，即AC=2，BC=DC=2，AB=AD=2，BC2+AC2=AB2，CD2+AC2=AD2，BCAC，DCAC，又BCCD=C，AC平面BCD（2）解：三棱锥ABCD的体积最大时，AC平面BCD，以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，2），D（0，2，0），=（0，2，2），平面ABC的法向量=（0，1，0），设直线AD与平面ABC所成角为，则sin=|cos|=|=直线AD与平面ABC所成角的正弦值为点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、折叠问题等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20（12分）已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：（i）直线AB的方程；（ii）FAB与FCB的面积之比考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等可得动点P的轨迹E是抛物线（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：，相减可得2y0kAB=4，由直线l的斜率kl=，可得kAB=2，解得y0，代入直线l的方程可得M，利用点斜式可得直线AB的方程（ii）令x=1，代入直线AB的方程解得C联立，解得A，B，利用=即可得出解答：解：（1）由题意可得动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x+1=0的距离相等动点P的轨迹E是抛物线：点F为焦点，直线x=1为准线，可得方程为：y2=4x（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），把A，B的坐标代入抛物线方程可得：，相减可得=4，2y0kAB=4，kAB=22y0=2，解得y0=1，代入方程2x+4y9=0可得2x0+49=0，解得x0=M，可得直线AB的方程为：，化为2xy4=0（ii）令x=1，代入直线AB的方程2xy4=0，解得y=6，C（1，6）联立，解得或，A（4，4），B（1，2），|AB|=，|BC|=2=点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得出交点、两点之间的距离公式、三角形面积之比、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知函数f（x）=xlnxx2（aR）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点1，f（1）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，求证：+2ae考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导函数，切线斜率k=f（1），利用切线的定义，即可求出切线方程；（2）函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即导函数g（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令1，构造函数（t），利用函数（t）的单调性证明不等式解答：解：（1）当a=2时，f（x）=xlnxx2，f（x）=lnx+1x2，f（1）=1，f（1）=1，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=x；（2）g（x）=f（x）1=lnxax，函数g（x）=f（x）x有两个极值点x1、x2，即g（x）=lnxax=0有两个不同的实根，当a0时，g（x）单调递增，g（x）=0不可能有两个不同的实根；当a0时，设h（x）=lnxax，若时，h（x）0，h（x）单调递增，若时，h（x）0，h（x）单调递减，0，0不妨设x2x10，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1lnx2=a（x1x2），先证，即证，即证令，即证设（t）=，则（t）=函数（t）在（1，+）上单调递减，（t）（1）=0，证：+2，又ae1，+2ae点评：本题考查了，利用导数求函数的切线，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式是一道导数综合题，难题较大请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分考点：与圆有关的比例线段专题：选作题；立体几何分析：（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：DGP=PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分解答：证明：（1）PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，PDA=DBA，BDA=90，DBA+DAB=90，PEAB在RtAFG中，FGA+GAF=90，FGA+DAB=90，FGA=DBAFGA=DGP，DGP=PDA，DGP=PDG，PG=PD；（2）连接AE，则CEAB，AB为圆的一条直径，AE=AC=BD，EDA=DAB，DEA=DBA，BDAEAD，DE=AB，DE为圆的一条直径，线段AB与DE互相平分点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线的性质，比较基础【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23（10分）已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4cos（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：（1）把消去化为普通方程，由极坐标方程=4cos化为直角坐标方程得x2+y2=4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案解答：解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y2）2=4，即x2+y24y=0；由=4cos，得2=4cos，即x2+y2=4x两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（2，2）其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大此时|AB|=，O到AB的距离为OAB的面积为S=点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x+1|+|xa|（aR）（1）当a=2时，求不等式f（x）4；（2）当a时，若存在x使得f（x）+x3成立，求a的取值范围考点：绝对值不等式的解法专题：计算题；推理和证明分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x2、x、x2时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最小值，即可解出实数a的取值范围解答：解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+1|+|x2|，当x2时，f（x）4，即为（2x+1）+（x2）4，即x成立，则有2x；当x时，f（x）4，即为（2x+1）（x2）4，即x1，则1x；当x2时，f（x）4，即为（2x+1）（x2）4，即x1，则有x1则原不等式的解集为1，1；（2）由a，x可得f（x）+x=，存在x使得f（x）+x3成立，3|f（x）+x|min=a1，求得a4，则a的取值范围为4，）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的存在性问题，注意与恒成立问题的区别，属于中档题和易错题