2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的加法学案 北师大版必修4.doc

21向量的加法内容要求1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量(重点).2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算(难点)知识点1向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算(2)三角形法则：作图：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作a，b，则向量叫作a与b的和，记作ab；几何意义：从第一个向量的起点到第二个向量终点的向量(3)平行四边形法则：作图：已知向量a，b，作a，b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量叫作a与b的和，表示为ab；几何意义：平行四边形对角线所在的向量【预习评价】1在四边形ABCD中，则()AABCD一定是矩形BABCD一定是菱形CABCD一定是正方形DABCD一定是平行四边形答案D2在平行四边形ABCD中，()A. B. C. D.答案A知识点2向量加法的运算律(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)特别地：对于零向量与任一向量a的和有0aa0a.【预习评价】1下列等式不成立的是()A0aaBabbaC.2 D.答案C2.等于_答案题型一向量加法法则的应用【例1】(1)如图(1)，用向量加法的三角形法则作出ab；(2)如图(2)，用向量加法的平行四边形法则作出ab.解(1)在平面内任取一点O，作a，b，再作向量，则ab.(2)在平面内任取一点O，作a，b，再作平行的b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，ab.规律方法用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用【训练1】已知向量a，b，c，如图，求作abc.解在平面内任取一点O，作a，b，c，如图，则由向量加法的三角形法则，得ab，abc.题型二向量加法及其运算律【例2】化简：(1)；(2)；(3).解(1).(2)()0.(3)0.规律方法向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序(2)注意点：三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；向量的和仍是向量；利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的【训练2】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点(1)_；(2)_；(3)_；(4)_.答案(1)(2)(3)(4)0方向1向量加法在平面几何中的应用【例31】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且，.求证：四边形ABCD是平行四边形证明，又，.ABCD且ABDC.四边形ABCD为平行四边形方向2向量加法在物理中的应用【例32】在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向解要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则vv1v2，依题意作出平行四边形，如图在RtABC中，| v 1|2.|v2|2，|v|4.tan .60.渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60.方向3向量加法在实际问题中的应用【例33】如图所示，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解设，分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意，有|8008001 600(km)，又35，55，ABC355590，所以|800(km)其中BAC45，所以方向为北偏东354580.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.规律方法应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题易错警示利用向量解决实际问题时容易出现向量关系转化错误.课堂达标1作用在同一物体上的两个力F160 N，F260 N，当它们的夹角为120时，这两个力的合力大小为()A30 NB60 NC90 ND120 N答案B2如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.0B.0C.D.解析0，0，0.故选D.答案D3已知在矩形ABCD中，AB2，BC3，则的模等于_解析|2|2|2.答案24在正六边形ABCDEF中，_.解析()()()()()()()()000.答案05.如图所示，P，Q是ABC的边BC上两点，且BPQC.求证：.证明，.又BPQC且与方向相反，0，即.课堂小结1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行3使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.基础过关1已知向量ab，且|a|b|0，则向量ab的方向()A与向量a方向相同B与向量a方向相反C与向量b方向相同D不确定解析如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同答案A2下列等式错误的是()Aa00aaB.0C.0D.解析20，故B错答案B3若a，b为非零向量，且|ab|a|b|，则()Aab，且a与b方向相同Ba，b是共线向量且方向相反CabDa，b无论什么关系均可答案A4根据图示填空，其中a，b，c，d.(1)abc_；(2)bdc_.解析(1)abc.(2)bdc.答案(1)(2)5已知|a|3，|b|5，则向量ab模长的最大值是_解析|ab|a|b|358.|ab|的最大值为8.答案86.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)；(2)；(3).解(1)由题图知，四边形OABC为平行四边形，.(2)由图知，.(3)，0.7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点求证：4.证明4()4()()4004.4.能力提升8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB1，则|等于()A1B2C3D2解析|2.答案B9设a()()，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是()ab；aba；abb；|ab|a|b|；|ab|a|b|.ABCD解析a0，ab，abb，|ab|a|b|，故选C.答案C10已知点G是ABC的重心，则_.解析如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GEED，则，0，0.答案011已知ABC是直角三角形，且A90，则在下列结论中，正确的有_|；|；|；|2|2|2.解析如图，以、为邻边作平行四边形ABCD，由于BAC90，则ABCD为矩形|，故正确|，故正确|.故正确又|2|2|2，故正确答案12已知|a|3，|b|3，AOB60，求|ab|.解如图，|3，四边形OACB为菱形连接OC、AB，则OCAB，设垂足为D.AOB60，AB|3.在RtBDC中，CD.|ab|23.13(选做题)如图，已知D，E，F分别为ABC的三边BC，AC，AB的中点求证：0.证明由题意知：，.由平面几何可知：，.所以()()()()()()00.