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2.1.3 推理案例赏析归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an1与an的关系式思路点拨(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果 (2)由数阵可直接写出答案(3)写出a3a2，a4a3，a5a4，从而归纳出(3)的结论精解详析(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数答案6,16,25,25,16,6(2)a22，a34，a47，a511(3)a3a22，a4a33，a5a44，由此归纳：an1ann.一点通对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了1设x表示不超过x的最大整数，如2，3，kk (kN*)我的发现：3；10；21；通过归纳推理，写出一般性结论_(用含n的式子表示)解析：第n行右边第一个数是，往后是，最后一个是等号右边是n(2n1)答案： n(2n1)2(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a)332(b)8126(c)695(d)10157(2)观察：3232；86122；6592；107152，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为VFE2.(3)由已知V999，F999，代入上述关系式得E1 996，故这个平面图形有1 996条边类比推理的应用例2通过计算可得下列等式：2313312311；3323322321；4333332331；(n1)3n33n23n1.将以上各等式两边分别相加，得(n1)3133(1222n2)3(123n)n，即122232n2n(n1)(2n1)类比上述求法，请你求出132333n3的值思路点拨类比上面的求法；可分别求出2414，3424,4434，(n1)4n4，然后将各式相加求解精解详析2414413612411，3424423622421，4434433632431，(n1)4n44n36n24n1.将以上各式两边分别相加，得(n1)4144(1323n3)6(1222n2)4(12n)n1323n3n2(n1)2.一点通(1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚3二维空间中圆的一维侧度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.则四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.解析：(2r4)8r3.答案：2r44在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是_解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：SSSS.答案：SSSS演绎推理的应用例3已知an为等差数列，首项a11，公差d0，n1且nN*.求证：lg an1lg an10，an1an1(and)(and)ad21，d0，ana1(n1)d1.lg an0.lg an1lg an1222(lg an)2，即lg an1lg an1(lg an)2.一点通三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.5如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC1B1是菱形(小前提)，所以B1CBC1(结论)又线面垂直的判定定理(大前提)，B1CA1B，且A1BBC1B(小前提)，所以B1C平面A1BC1(结论)又面面垂直的判定定理(大前提)，B1C平面AB1C，B1C平面A1BC(小前提)，所以平面AB1C平面A1BC1(结论)(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A1B平面B1CD(小前提)，所以A1BDE(结论)又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1DDC111.6求证：函数y是奇函数，且在定义域上是增函数证明：yf(x)1，所以f(x)的定义域为xR.f(x)f(x)222220，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)22.因为x1x2，所以2x12x2，2x12x20，所以f(x1)f(x2)故f(x)为增函数1通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向2在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论一、填空题1设k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱对角面的个数为f(k1)f(k)_.解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k2条侧棱可构成k2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面所以f(k1)f(k)k21f(k)k1.答案：k12如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)_；f(n)_.(答案用数字或含n的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数底边数对角线数，即nn.f(4)42212，f(n)n(n2)(n2).答案：123(陕西高考)已知f(x) ，x0，若 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN*, 则f2 014(x)的表达式为_解析：由f1(x)f2(x)f；又可得f3(x)f(f2(x)，故可猜想f2 014(x).答案：4对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：233343.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2 015，则m_.解析：根据分裂特点，设最小数为a1，则ma12m3，a1m2m1.a1为奇数，又4522 025，猜想m45.验证45391 125.答案：455观察以下等式sin230cos290sin 30cos 90；sin225cos285sin 25cos 85；sin210cos270sin 10cos 70.推测出反映一般规律的等式：_.解析：903060，852560，701060，其一般规律为sin2cos2(60)sin cos(60).答案：sin2cos2(60)sin cos(60)二、解答题6试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y2x1是一次函数，所以y2x1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式anpnq(p，q是常数)，数列1,2,3，n是等差数列，所以数列1,2,3，n的通项具有anpnq的形式解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y2x1是一次函数，(小前提)y2x1是单调函数(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式anpnq(p，q是常数)，(大前提)数列1,2,3，n是等差数列，(小前提)数列1,2,3，n的通项具有anpnq的形式(结论)7平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍8某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值解：(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由以上规律，可得出f(n1)f(n)4n，因为f(n1)f(n)4n，所以f(n1)f(n)4n，所以当n2时，f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)fn(n1)4(n1)4(n2)4(n3)4n(n1)2n22n1.f(1)1也适合上式，故f(u)2n22n1(nN*)(3)当n2时，所以11.
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