2019-2020年高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2019-2020年高三数学上学期期中试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M=x|1x3，N=x|2x1，则MN=（）A（2，1）B（1，1）C（1，3）D（2，3）2（5分）=（）A1+2iB1+2iC12iD12i3（5分）若aR，则a=0是a（a1）=0的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4（5分）等比数列an中，a4=4，则a2a6等于（）A4B8C16D325（5分）在ABC中，a2=b2+c2bc，则A的值为（）A30B60C30或150D60或1206（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A（5，7）B（3，3）C（3，3）D（5，7）7（5分）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（）A3BC1D8（5分）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若S4=20，S6S2=36，则该等差数列的公差d=（）A2B2C4D49（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=110（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1二填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置11（5分）双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为12（5分）曲线y=5ex3在点（0，2）处的切线方程为13（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=15（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=三、解答题（共6小题，满分79分）16（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1（）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值17（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n12345体重xn6066626062（）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率18（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点（1）求证：EF平面ABC1D1；（2）求证：CFB1E；（3）求三棱锥VCB1FE的体积19（14分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有20（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=m（m0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（1）当M的坐标为（0，1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）21（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）（1）若函数f（x）在1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在，e上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn+广东省广州市执信中学xx届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M=x|1x3，N=x|2x1，则MN=（）A（2，1）B（1，1）C（1，3）D（2，3）考点：交集及其运算专题：集合分析：根据集合的基本运算即可得到结论解答：解：M=x|1x3，N=x|2x1，则MN=x|1x1，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）=（）A1+2iB1+2iC12iD12i考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可解答：解：化简可得=1+2i故选：B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题3（5分）若aR，则a=0是a（a1）=0的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：由a（a1）=0解得a=0或1即可判断出解答：解：由a（a1）=0解得a=0或1a=0是a（a1）=0的充分而不必要条件故选：A点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题4（5分）等比数列an中，a4=4，则a2a6等于（）A4B8C16D32考点：等比数列分析：由a4=4是a2、a6的等比中项，求得a2a6解答：解：a2a6=a42=16故选C点评：本题主要考查等比中项5（5分）在ABC中，a2=b2+c2bc，则A的值为（）A30B60C30或150D60或120考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数解答：解：在ABC中，a2=b2+c2bc，即b2+c2a2=bc，cosA=，则A=60故选：B点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6（5分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A（5，7）B（3，3）C（3，3）D（5，7）考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的减法运算法则求解即可解答：解：向量=（1，2），=（4，5），=（1，2）（4，5）=（3，3）；故选：B点评：本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，基本知识的考查7（5分）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（）A3BC1D考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积解答：解：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：三棱锥AB1DC1的体积为：=1故选：C点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键8（5分）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若S4=20，S6S2=36，则该等差数列的公差d=（）A2B2C4D4考点：等差数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得结论解答：解：由题意，a1+a2+a3+a4=20，a3+a4+a5+a6=36，作差可得8d=16，即d=2故选：B点评：本题考查数列基本量的求法9（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程解答：解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1考点：函数的值；函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论解答：解：f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，设g（x）=f（x+2），则g（x）=g（x），即f（x+2）=f（x+2），f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2），即f（x+4）=f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键二填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置11（5分）双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点为（1.0），则C的方程为x2y2=1考点：双曲线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设双曲线方程为，（a0，b0），由已知得，由此能求出C的方程解答：解：双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点为（1.0），设双曲线方程为，（a0，b0），且，b2=21=1，C的方程为x2y2=1故答案为：x2y2=1点评：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用12（5分）曲线y=5ex3在点（0，2）处的切线方程为5xy+2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程解答：解：y=f（x）=5ex3，f（x）=5ex，则f（0）=5e0=5，即f（x）在点（0，2）处的切线斜率k=5，则对应的切线方程为y2=5（x0），即5xy+2=0，故答案为：5xy+2=0点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键13（5分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为2.5考点：简单线性规划专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由几何意义可得解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（3分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：利用余弦定理即可得出解答：解：AOB=，AB2=49，AB=7故答案为：7点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题15（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，若OB=3，OC=5，则CD=4考点：与圆有关的比例线段专题：立体几何分析：利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB即可得出解答：解：AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，OBBC在RtOBC中，=4ADOC，A=BOC，ADO=CODA=ADO，BOC=DOC又OB=OD，OC为公共边BOCDOCCD=CB=4点评：本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题三、解答题（共6小题，满分79分）16（12分）设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=+1（）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（）当f（a）=，且时，求sin（2a）的值考点：平面向量数量积的运算；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：（）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可解答：解：依题意f（x）=+1=（cosx，sinx）（，）=cosx+sinx+1=sin（x+）+1，（）sin（x+）1，1，sin（x+）+10，2，即函数f（x）的值域是0，2令，解得，函数f（x）的单调增区间为（kZ）（）由f（a）=得sin（a+）+1=，得sin（a+）=，得cos（a+）=，sin（2a）=sin2（a+）=2sin（a+）cos（a+）=点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式17（12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤用xn表示编号为n（n=1，2，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n12345体重xn6066626062（）求第6位同学的体重x6及这6位同学体重的标准差s；（）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间（58，65）中的概率考点：古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差专题：概率与统计分析：由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率解答：解：（）由题意得 =65 解得x6=80 （2分）则6位同学体重的标准差s=7 （4分）所以第6位同学的体重x6=80，这6位同学体重的标准差为s=7 （5分）（）从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个，它们是（601，66），（601，623），（601，604），（601，625），（66，623），（66，604），（66，625），（623，604），（623，625），（604，625）（8分）其中恰有1位同学的体重在（58，65）之间的基本事件有4个，它们是（601，66），（66，623），（66，604），（66，625）（10分）所以恰有1位同学的体重在（58，65）之间的概率P=（12分）点评：本题考查统计中的一些数字特征，如平均数和方差，以及古典概型，要对概念有足够的重视18（14分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点（1）求证：EF平面ABC1D1；（2）求证：CFB1E；（3）求三棱锥VCB1FE的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）欲证EF平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EFD1B，而D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CFB1E即可；（3）由题意，可先证明出CF平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积解答：（1）证明：连接BD1，E、F分别为DD1、DB的中点，EF是三角形BD1D的中位线，即EFBD1；（3分）又EF平面ABC1D1，BD1平面ABC1D1，EF平面ABC1D1（4分）（2）证明：E、F分别为D1D，DB的中点，则CFBD，又CFD1DCF平面BB1D1D，CFB1E（8分）（3）解：由（2）可知CF平面BB1D1D，CF为高，CF=BF=EF=BD1=，B1F=，B1E=3即EFB1=90=1（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式19（14分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用已知a1=1，nN*令n=1即可求出；（2）利用an=SnSn1（n2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为，再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n2）即可证明解答：解：（1）当n=1时，解得a2=4（2）当n2时，得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，当n=1时，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列an的通项公式为，nN*（3）因为（n2）所以=当n=1，2时，也成立点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系an=SnSn1（n2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键20（14分）设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=m（m0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（1）当M的坐标为（0，1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系分析：（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x24kx+4=0，令=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k0），代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论解答：（1）解：当M的坐标为（0，1）时，设过M点的切线方程为y=kx1，代入x2=4y，整理得x24kx+4=0，令=（4k）244=0，解得k=1，代入方程得x=2，故得A（2，1），B（2，1），（2分）因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y1）2=4圆心坐标为（0，1），半径为2，圆与直线l：y=1相切（4分）（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1， y1）的切线方程为，代入x2=4y，整理得x24kx+4（kx1y1）=0=（4k）244（kx1y1）=0，又因为，所以（6分）从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即又切线过点M（x0，y0），所以得即（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得（10分）即（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=m（m0）上任意一点，故x0x=2（ym）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为（k0），代入x2=4y，消去y，得x24kx4（y0kx0）=0=（4k）2+44（y0kx0）=0即：k2+x0k+y0=0（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，（8分）因为，所以AB的中点坐标为（11分）故直线AB的方程为，即x0x=2（y0+y）（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=m（m0）上任意一点，故x0x=2（ym）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得即（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得即（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）（12分）又M（x0，y0）为直线l：y=m（m0）上任意一点，故x0x=2（ym）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）（14分）点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，确定切线方程，及直线AB的方程是关键21（13分）已知f（x）=+lnx（a为正实数）（1）若函数f（x）在1，x）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在，e上的最大值与最小值；（3）当a=1时，求证：对于大于1的任意正整数n，都有lnn+考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）由题意可得f（x）0对x1，+）恒成立，解得即可；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求得最值；（3）由（1）知：f（x）+lnx在1，+）上为增函数，可得lnx，n2时，令x=，即ln，即可得证解答：解：（1）由已知：f（x）=（a0），依题意得：0对x1，+）恒成立ax10，x1，+）恒成立又a为正实数a10，即：a1（2）a=1f（x）=+lnx，f（x），x（，1）时，f（x）0，f（x）在（，1）上单调减，x（1，e）时，f（x）0，f（x）在（1，e）上单调增，f（）=e2，f（1）=0，f（e）=，又f（）f（e）所以f（x）在，e上的最大值为f（）=e2与最小值为f（1）=0（3）a=1由（1）知：f（x）+lnx在1，+）上为增函数，对任意x1时，f（x）f（1）=0，lnxn2时，令x=，即lnlnn=ln+ln+ln+ln+即n2时，lnn+点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查不等式的证明的转化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题