2019-2020学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (III).doc

2019-2020学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (III)一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先化简集合B得，根据交集运算定义可得结果。【详解】集合B可化简为，所以，答案选B。【点睛】本题考查了集合的化简，以及交集运算，属于基础题。2.集合，下图中能表示从集合到集合的映射的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在A中，当0x1 时，y1 ，所以集合A 到集合B不成映射，故选项A不成立；在B中，1x2 时，y1 ，所以集合A到集合B不成映射，故选项B不成立；在C中，0x1 时，任取一个x 值，在0y2 内，有两个y值与之相对应，所以构不成映射，故选C不成立；在D中，0x1时，任取一个x值，在0y2内，总有唯一确定的一个y值与之相对应，故选项D成立故选D3.方程log4x+x=7 的解所在区间是（ ）A. (1,2) B. (3,4) C. (5,6) D. (6,7)【答案】C【解析】【分析】令函数f(x)=log4x+x7，则函数f(x)是(0,+)上的单调增函数，且是连续函数，根据f(5)f(6)0，可得函数f(x)=log4x+x7的零点所在的区间为(5,6)，由此可得方程log4x+x=7的解所在区间【详解】令函数f(x)=log4x+x7，则函数f(x)是(0,+)上的单调增函数，且是连续函数.f(5)0f(5)f(6)0故函数f(x)=log4x+x7的零点所在的区间为(5,6)方程log4x+x=7的解所在区间是(5,6)故选C.【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.4.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。根据现有信息,题中的二次函数不一定具有的性质是( )A. 在x轴上截得的线段的长度是2B. 与y轴交于点（0,3）C. 顶点是(2,2)D. 过点(3,0)【答案】C【解析】【分析】本题是条件开放题，根据已知点（1，0）和对称轴x=2，根据抛物线的对称性，探求二次函数的性质【详解】A、抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；B、图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2时，图象必过（3，0）点，代入求得解析式即可得出与y轴的交点可以是（0，3），正确C、顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；D、因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确；故答案为：C【点睛】本题主要考查了二次函数的对称，函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在同一图象上5.若偶函数f(x)在(，0)内单调递减，则不等式f(1)f(lg x)的解集是 ()A. （0,10） B. （110,10） C. （110,+） D. （0，110）(10,+)【答案】D【解析】偶函数fx在（-，0内单调递减，fx在（0，+）内单调递增，则不等式f(1)1，lgx1或lgx10或0x110，不等式f(1)1，从而解得x的范围.6.若0ablogbalog1ab B. ablog1ablogbaC. logbalog1abab D. logbaablog1ab【答案】D【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出详解：0ab1，ab（0，1），logbalogbb=1，z=logb0，则ab,logba,log1ab的大小关系为logbaablog1ab故选：D点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小7.函数fx=x21x+1的零点个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】令f(x)=0得x2-1x+1=0，所以x2+1=1x，再作出函数y=x2+1与y=1x的图像得解.【详解】令f(x)=0得x2-1x+1=0，所以x2+1=1x，再作出函数y=x2+1与y=1x的图像,由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.8.已知定义在R上的奇函数fx满足fx+2=fx，当x0,1时 fx=2x1，则（ ）A. f6f7f112 B. f6f112f7C. f7f112f6 D. f112f7f6【答案】B【解析】 由题意得，因为f(x+2)=f(x)，则f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)表示以4为周期的周期函数，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=f(x)，所以f(6)=f(4+2)=f(2)=f(0)=0，f(7)=f(8+1)=f(1)=1，f(112)=f(4+32)=f(32)=f(12)=f(12)=21，所以f(6)f(112)1当x1x2时，f(x1)f(x2)x1x20，则的取值范围是（ ）A. (0,13 B. 13,12 C. （0，12） D. 14,13【答案】A【解析】当x1x2时，f(x1)-f(x2)x1-x20，f（x）是R上的单调减函数，f（x）=(1-2a)x，x1logax+13，x1，&01-2a1&0a1&1-2a13，0a13，故选：A10.定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)=12x,x0,1)1|x3|,x1,+).，则关于x的函数F(x)=f(x)a(0a1)的所有零点之和为（ ）A. 2a1 B. 12a C. log2(1+a) D. log2(1a)【答案】C【解析】当x0时，fx=12x,x0,1x2,x1,34x,x3,+又fx是奇函数，画出函数f(x)的图象，由函数图象可知：Fx=0fx=a,0a0且a1在区间（0，12）内恒有fx0，则fx的单调递增区间为_.【答案】(，12)【解析】因为函数f(x)loga(2x2+x)(a0，a1)在区间(0，12)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为(，12)三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知集合A=x|33x27,B=x|log2x1.（1）分别求AB，CRBA；（2）已知集合C=x|axa+1,若AC=C，求实数a的取值范围.【答案】（1）1,2；-,23,+.（2）1,2【解析】【分析】（1）先化简集合A和B,再求AB，CRBA. (2)由AC=C得CA，可得1a且a+13,解不等式即得.【详解】(1)由33x27,即33x33,1x3,A=1,3.由log2x1,可得0x2,B=(0,2).AB=1,2).所以CRBA=-,13,+0,2=-,23,+.（2）由AC=C得CA，可得1a且a+13解得1a2.综上所述：a的取值范围是1,2 .【点睛】本题主要考查集合的化简与运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.计算：（1）823780+4(3)4+(2)612（2）lg2lg14+3lg5log32log49【答案】（1）+8；（2）2.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17.已知函数fx=b2x2x+1+2是定义在R上的奇函数.（1）判断并证明fx在,+上的单调性.（2）若对任意实数t,不等式fkt2kt+f2kt0恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）单调递减，证明见解析.（2）0k2【解析】【分析】（1）先利用函数的奇偶性求出b=1a=2，判断f(x)在(,+)上是减函数，再利用函数单调性的定义证明函数fx在-,+上的单调递减.（2）先化简不等式为f(kt2kt)kt2，再分析得解.【详解】(1)由于定义域为R的函数fx=b-2x2x+1+a是奇函数，则f0=0f-1=-f1即b-1=0b-121+a=-b-24+a,解得b=1a=2，经检验成立；判断函数f(x)在(,+)上是减函数。证明：设任意x1x2，f(x1)f(x2)=1-2x121+2x1-1-2x221+2x2=2x2-2x11+2x11+2x2，由于x1x2,则2x1f(x2)，故f(x)在(,+)上是减函数；(2)不等式f(kt2kt)+f(2kt)0，由奇函数f(x)得到f(x)=f(x)，f(kt2kt)kt2,即有kt22kt+20对tR恒成立，k=0或k0且=4k28k0即有k=0或0k2，综上：0kn3,使得gx的定义域为n,m，值域为n2,m2？若存在，求出m,n的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）g（a）=2892a3(a3).（）见解析.【解析】试题分析：（）在x1,1的情况下，求出f(x)的值域，对所给函数进行配方化简，可利用一元二次函数的性质对进行分类讨论，可得函数的最小值g(a)；（）假设存在，利用（）中分段函数在(3,+)的单调性，结合区间与值域，可得关于m,n的等式，解得m,n存在情况试题解析：（）x1，1，f（x）=（13）x13，3， y=f（x）22af（x）+3=（13）x22a（13）x+3=（13）xa2+3a2. . 由一元二次函数的性质分三种情况：若a13，则当(13)x=13,即x=1时，ymin=g（a）=289-2a3； 若13a3，则当(13)x=a,即x=-log3a时，ymin=g（a）=3a2； 若a3，则当(13)x=3,即x=-1时，ymin=g（a）=126a. g（a）=289-2a3(a3). （）假设存在满足题意的m、n，mn3，且g（x）=126x在区间（3，+）内是减函数， 又g（x）的定义域为n，m，值域为n2，m2，12-6m=n2,12-6n=m2, 两式相减，得6（mn）=（m+n）（mn），mn3，m+n=6，但这与“mn3”矛盾， 满足题意的m、n不存在.点睛：本题主要考查一元二次函数的性质.二次函数求最值问题,一般先配方或利用公式得出顶点(m,n)和对称轴方程x=m,再结合二次函数的图像求解.通常有三种形式:顶点固定,给定区间;顶点含参数;给定区间 ,要讨论顶点在给定区间内外的情况;顶点固定,区间变化,为了确定区间和对称轴之间的关系要讨论区间的参数,得出函数的单调情况,以确定函数的最值.19.已知函数fx=x22ax+5aR.（1）当a1时，若gx=2x+log2x+1，且对任意的x0,1，都存在x00,1，使得fx0=gx成立，求实数a的取值范围；（2）当fx1ax2+x+4时，求x的取值范围.【答案】（1）a52；（2）见解析【解析】【分析】(1)先利用函数的单调性得当x0,1时,g(x)1,3,f(x)62a,5，再根据已知得到1,362a,5，解不等式即得解.(2)先化简得ax-1x-10，再对a分类讨论求x的取值范围.【详解】（1）g(x)=2x+log2(x+1)在0,1上递增,f(x)在0,1上递减，当x0,1时,g(x)1,3,f(x)62a,5对任意的x0,1,都存在x00,1,使得f(x0)=g(x)成立；1,362a,562a1，即a52.（2）fx1-ax2-x+4x2-2ax+51-ax2-x+4ax-1x-11当a0时，当0a1时，1x1时，1ax1当a=1时，无解当a0时，x1综上所述，当a=0时，x的取值范围为1，+当a0时，当0a1时，x的取值范围为1a,1当a=1时，无解当a0时，求函数fx=x+1x4x4+1x4x+1x3x3+1x3的最小值.【答案】73【解析】【分析】先化简得fx=4x2+4x2+63x+3x，再令t=x+1x，得到fx=gt=4t2-23t=43t-23t,t2，再求函数g(t)的单调性，得到函数的最小值.【详解】由题意可得：x0.且fx=x+1x4-x4+1x4x+1x3-x3+1x3fx=x+1x4-x4+1x4x+1x3-x3+1x3=4x2+4x2+63x+3x令t=x+1x，则x2+1x2=x+1x2-2=t2-2x0,t=x+1x2x1x=2，当且仅当x=1时取等号fx=gt=4t2-23t=43t-23t,t2gt=43t-23t在t2,+上为增函数gt的最小值为g2=73【点睛】本题主要考查换元法和函数单调性的运用，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21.设二次函数fx=ax2+bx+ca,b,cR,a0满足条件：（1）当xR时fx4=f2x，且fxx；（2）当x0,2时，fxx+122；（3）fx在R上的最小值为0.求最大的m（m1）,使得存在tR,只要x1,m，就有fx+1x【答案】m=9【解析】试题分析：本题主要考查函数的对称性、函数的最值、函数图象、解不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.本问利用f(x4)=f(2x)先得到函数的对称轴，从而得到a与b的关系，结合可知函数在对称轴位置取得最小值，结合和可得，通过这些方程解出a，b，c的值，从而得到解析式，假设存在t，先代入，解不等式得到t的范围，在这个范围内，取解出m的取值范围，再计算m的最值.试题解析：函数的图象关于对称 ，由知当时,，即由得，由得，即，又，假设存在，只要，就有，取时，有-，对固定的，取，有，当时，对任意的，恒有m的最大值为9。考点：函数的对称性、函数的最值、函数图象、解不等式.