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2.2.2事件的相互独立性学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一相互独立的概念甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，事件B为“从乙箱里摸出白球”思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗？答案不影响思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？答案P(A)，P(B)，P(AB).思考3P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？答案P(AB)P(A)P(B)梳理条件设A，B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)结论称事件A与事件B相互独立知识点二相互独立的性质条件A与B是相互独立事件结论也相互独立1不可能事件与任何一个事件相互独立()2必然事件与任何一个事件相互独立()3如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)P(B)()4“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件()类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB)，所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响(2)公式法：检验P(AB)P(A)P(B)是否成立(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的类型二求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P21P( )1P()P()P()10.20.30.10.994.引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解恰有一列火车正点到达的概率为P3P(A )P(B)P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2若一列火车正点到达计10分，用表示三列火车的总得分，求P(20)解事件“20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件AB.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件 .(4)A，B恰有一个发生为事件AB.(5)A，B中至多有一个发生为事件AB .跟踪训练2甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个相互独立事件同时发生的概率解记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”(1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)P(A)P(B).(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为1P(AB)1.类型三相互独立事件的综合应用例3计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率；(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求X的分布列考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与分布列解(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)，P(B)，P(C).因为P(C)P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)P(AB )P(A C)P(BC).(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X2)P(D)，P(X3)，P(X1)1P(X0)P(X2)P(X3)1.所以X的分布列为X0123P反思与感悟概率问题中的数学思想(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P()1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解跟踪训练3甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用解(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P()P()，解得P()或P()(舍去)，故p1P()，所以乙投球的命中率为.(2)方法一由题设知，P(A)，P()，故甲投球2次，至少命中1次的概率为1P()1P()P().方法二由题设知，P(A)，P()，故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P()P(A)P(A).1坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()A互斥事件 B相互独立事件C对立事件 D不相互独立事件考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断答案D解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件2打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()A. B.C. D.考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个相互独立事件同时发生的概率答案A解析P甲，P乙，所以PP甲P乙.3甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()Ap1p2 Bp1(1p2)p2(1p1)C1p1p2 D1(1p1)(1p2)考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案B解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1p2)p2(1p1)，故选B.4在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为()A. B.C. D.考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率答案C解析由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，则在这段道路上三处都不停车的概率P.5某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用解设Ai第i次拨号接通电话，i1,2,3.(1)第3次拨号才接通电话可表示为12A3，于是所求概率为P(12A3).(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A11A212A3，于是所求概率为P(A11A212A3)P(A1)P(1A2)P(12A3).一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的(列表比较)互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响概率公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)一、选择题1若P(AB)，P()，P(B)，则事件A与B的关系是()A事件A与B互斥B事件A与B对立C事件A与B相互独立D事件A与B既互斥又独立考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断答案C解析P(A)1P()1，P(AB)P(A)P(B)，A，B相互独立2投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A. B. C. D.考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案A解析因为P(A)，P(B)，所以P()，P().又A，B为相互独立事件，所以P( )P()P().所以A，B中至少有一个发生的概率为1P( )1.3甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是()A. B. C. D1考点相互独立事件的性质及应用题点相互独立事件性质的应用答案C解析设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”根据题意，知事件A和B相互独立，且P(A)，P(B).记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则CAB，且A和B互斥故P(C)P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).4从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于()A2个球不都是红球的概率B2个球都是红球的概率C至少有1个红球的概率D2个球中恰好有1个红球的概率考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案C解析至少有1个红球的概率是. 5设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A. B. C. D.考点相互独立事件的性质及应用题点相互独立事件性质的应用答案D解析由P(A)P(B)，得P(A)P()P(B)P()，即P(A)1P(B)P(B)1P(A)，P(A)P(B)又P( )，则P()P()，P(A).6出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为()A. B. C. D.考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率答案B解析因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是，所以未遇到红灯的概率都是1，所以P.7同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy4的概率为()A. B.C. D.考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案C解析满足xy4的所有可能如下：x1，y4；x2，y2；x4，y1.所求事件的概率为PP(x1，y4)P(x2，y2)P(x4，y1).8在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A. B.C. D.考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案B解析设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件EABCABAC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以P(E)P(ABCABAC)P(ABC)P(AB)P(AC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C).二、填空题9某自动银行设有两台ATM机在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为，则该客户此刻到达需要等待的概率为_考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个相互独立事件同时发生的概率答案解析该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P.10事件A，B，C相互独立，如果P(AB)，P(C)，P(AB)，则P(B)_，P(B)_.考点相互独立事件的性质及应用题点相互独立事件性质的应用答案解析P(AB)P(AB)P()P()，P()，即P(C).又P(C)P()P(C)，P()，P(B).又P(AB)，则P(A)，P(B)P()P(B).11某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_考点相互独立事件的性质及应用题点相互独立事件性质的应用答案0.128解析由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)0.8，故PP(A)AA1P(A)P(A)P(A)0.128.三、解答题12要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲、乙机床生产的产品中各任取1件，求：(1)至少有1件废品的概率；(2)恰有1件废品的概率考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用解从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A，B，则事件A，B相互独立(1)设至少有1件废品为事件C，则P(C)1P( )1P()P()1(10.04)(10.05)0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D，则P(D)P(A )P(B)0.04(10.05)(10.04)0.050.086.13某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆，10个学豆，20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；(2)设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与分布列解(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥P(A1)，P(A2)，P(A)P(A1)P(A2)，所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.(2)由题意得X的所有可能取值为0,5,15,35，P(X0)P(A)，P(X5)，P(X15)，P(X35).所以X的分布列为X051535P四、探究与拓展14甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中6道题，乙能答对其中8道题若规定每人每次考试都从这10道题中随机抽出3道题进行测试，且至少答对2道题算合格，则甲、乙两人分别参加一次考试，至少有一人考试合格的概率为()A. B. C. D.考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案C解析设事件A表示“甲考试合格”，事件B表示“乙考试合格”，则P(A)，P(B).所以甲、乙两人考试都不合格的概率为P( )P()P()，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1P( )1.15在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列考点题点解设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4.利润产量市场价格成本，X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2
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