2018高中数学 初高中衔接读本 专题1.2 十字相乘法精讲深剖学案.doc

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第2讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用,是继续高中数学学习的一项基本技能。因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。【知识梳理】1.乘法公式:初中已经学习过了下列乘法公式:(1)平方差公式 ;(2)完全平方公式 (3)立方和公式 ;(4)立方差公式 ;2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式3因式分解与整式乘法的区别和联系:因式分解与整式乘法是互逆关系(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘4因式分解的思路:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内(比如有理数范围内)不能再分解为止5因式分解的解题步骤:一提(公因式)、二套(平方差公式,完全平方公式)、三检查(彻底分解)【精讲深剖】1对于二次项系数为1的二次三项式型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:二次项系数是1;常数项是两个数之积;一次项系数是常数项的两个因数之和。即;注:这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数,通常借助画十字交叉线的办法来确定,故称为十字相乘法。【典例解析】把下列各式因式分解:(1) ;(2) ; (3) ;【解题反思】当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因数的符号与一次项的系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。【变式训练】1.把下列各式因式分解:(1)_。(2)_。(3)_。(4)_。(5)_。(6)_。(7)_。(8)_。(9)若则,。(10)【答案】(1); (2); (3); (4); (5); (6);(7); (8);(9); (10);【点评】注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。2对于一般二次三项式型的因式分解因为,反过来,就得到;我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行。【典例解析】把下列各式因式分解:(1) ;(2) 【解析】:(1) (2) 【解题反思】用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号。【变式训练】1.把下列各式分解因式:(1); (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 【点评】对于二次项系数不为1的二次三项式运用十字相乘法分解,需要更多尝试,达到熟练掌握。
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