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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案2,4,8,16,32,64，其系数和为2n.思考3二项式系数的最大值有何规律？答案当n2,4,6时，中间一项最大，当n3,5时中间两项最大梳理(1)杨辉三角的特点在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.(2)二项式系数的性质性质内容对称性CC，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值各二项式系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即CCCC2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n1，即CCCCCC2n11杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()2二项式展开式的二项式系数和为CCC.()3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()类型一与杨辉三角有关的问题例1(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A第6行 B第7行 C第8行 D第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A144 B146 C164 D461考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案(1)B(2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除(2)由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第15项是C，第16项是C，所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为23.考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以CC23，即，解得n34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23.类型二二项式系数和问题例2已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值：(1)a0a1a2a5；(2)|a0|a1|a2|a5|；(3)a1a3a5.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)令x1，得a0a1a2a51.(2)令x1，得35a0a1a2a3a4a5.由(2x1)5的通项Tk1C(1)k25kx5k知a1，a3，a5为负值，所|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243.(3)由a0a1a2a51，a0a1a2a535，得2(a1a3a5)135.所以a1a3a5121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0a2a4；(2)a1a2a3a4a5；(3)5a04a13a22a3a4.解(1)因为a0a1a2a51，a0a1a2a535.所以a0a2a4122.(2)因为a0是(2x1)5展开式中x5的系数，所以a02532.又a0a1a2a51，所以a1a2a3a4a531.(3)因为(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.所以两边求导数得10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4.令x1得5a04a13a22a3a410.反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练2在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇数项系数之和为.类型三二项式系数性质的应用例3已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3C(3x2)290x6，T4C(3x2)3270.(2)展开式的通项公式为Tk1C3k，假设Tk1项系数最大，则有即k，kN，k4，展开式中系数最大的项为T5C(3x2)4405.反思与感悟(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第k1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项跟踪训练3写出(xy)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)二项式系数最大的项为中间两项：T6Cx6y5，T7Cx5y6.(2)(xy)11展开式的通项为Tk1Cx11k(y)kC(1)kx11kyk，项的系数的绝对值为|C(1)k|C，项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6Cx6y5，T7Cx5y6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T7Cx5y6，项的系数最小的项为T6Cx6y5.(4)展开式中，二项式系数的和为CCCC211.(5)令xy1，得展开式中各项的系数和为CCCC(11)110.1观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A8 B6 C4 D2考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案B解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.2(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()An，n1 Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中二项式系数最大(小)的项答案C解析2n1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第n1项与第n2项，故选C.3已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A4 B5C6 D7考点二项式系数的性质题点二项式系数与项的系数问题答案C解析令x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有64，所以n6.4设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tk1C(3)4k(2x)k，当k4时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.5已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为_考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题答案解析由CCC37，得1nn(n1)37，解得n8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5C(2x)4x4，该项的系数为.1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k0,1,2，n一、选择题1如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a7时，b等于()A20 B21 C22 D23考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案C解析根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b61622.2若n(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A210 B252C462 D10考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案A解析由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n10，于是得其常数项为C210.3已知关于x的二项式n展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A1 B1 C2 D2考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案C解析由条件知2n32，即n5，在通项公式Tk1C()5kkCak中，令155k0，得k3.所以Ca380，解得a2.4(x1)11的展开式中，x的奇次幂的系数之和是()A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案D解析(x1)11a0x11a1x10a2x9a11，令x1，则a0a1a2a11211，令x1，则a0a1a2a110，a0a2a4a102101 024.5若x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a8的值为()A10 B45C9 D45考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案B解析x101(x1)10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，a8CC45.6设n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若MN240，则展开式中x的系数为()A150 B150 C300 D300考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案B解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tk1C(5x)4kk(1)k54kC，令41，得k2，所以展开式中x的系数为(1)252C150.7已知(2x1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则CCCC的值为()A28 B281C27 D271考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案B解析设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知可知，BA38.令x1，得，a0a1a2a3an(1)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n.(3)n38(3)8，n8.由二项式系数性质可得，CCCC2nC281.8关于下列(ab)10的说法，错误的是()A展开式中的二项式系数之和是1 024B展开式的第6项的二项式系数最大C展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小考点二项式系数的性质题点二项式系数与项的系数问题答案C解析由二项式系数的性质知CCCC2101 024，故A正确二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确由展开式的通项为Tk1Ca10k(b)k(1)kCa10kbk知，第6项的系数C最小，故D正确二、填空题9已知(1x)10a1a2xa3x2a11x10，若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是_考点二项式系数的性质题点利用二项式系数的性质进行计算答案6解析(1x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.10在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是_考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案462解析二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n11 024，n11，展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为CC462.11若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a11)_.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案7解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12，282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.三、解答题12设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)求a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.与式联立相减得a1a3a99.(4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.(5)|a0|a1|a100|，即(2x)100的展开式中各项系数的和，在(2x)100的展开式中，令x1，可得各项系数的和为(2)100.13已知n展开式的二项式系数之和为256.(1)求n；(2)若展开式中常数项为，求m的值；(3)若(xm)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数解(1)二项式系数之和为2n256，可得n8.(2)设常数项为第k1项，则Tk1Cx8kkCmkx82k，故82k0，即k4，则Cm4，解得m.(3)易知m0，设第k1项系数最大则化简可得k.由于只有第6项和第7项系数最大，所以即所以m只能等于2.四、探究与拓展14设(3x2)6a0a1(2x1)a2(2x1)2a6(2x1)6，则_.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案解析令x1，得a0a1a2a61，令x0，得a0a1a2a664，两式相减得2(a1a3a5)63，两式相加得2(a0a2a4a6)65，故.15已知(x2)2n的展开式的系数和比(3x1)n的展开式的系数和大992，求2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项解由题意得22n2n992，解得n5.(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6C(2x)558 064.(2)设第k1项的系数的绝对值最大，则Tk1C(2x)10kk(1)kC210kx102k.得即k，kN，k3，故系数的绝对值最大的是第4项T4(1)3C27x415 360x4.
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