2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(173).doc

2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(173)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知直线，在上任取一点.若过点且以双曲线的焦点作椭圆的焦点，则具有最短长轴的椭圆方程为.2. 在四棱锥中，已知四边形为矩形，且，与交于点，为边的中点.则与平面所成的角为.3. 在名学生中，已知任意三人中有两个互相认识，任意四人中有两人互相不认识.则的最大值为.4. 设（为奇数）.则的最大公因数为.5. 若为大于1的正整数，则.6. 已知正实数满足.则的最大值为.7. 设方程的10个复根分别为.则.8. 将编号为的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为.则取得最小值的方法的概率为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知列数满足，.证明：.10.（20分）设随圆的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于点.若，且.（1） 求椭圆的方程；（2） 若是椭圆右准线上的两个动点，且，求的内切圆圆心的轨迹方程.11.（20分）设，且，其中，为给定的正实数，令.求的值域.1、 （40分）在中，已知为斜边上的高，分别为的内心，于点，直线与与与分别交于点.证明：2、 （40分）若为某一整数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”.证明：（1） 可数个可数集的并为可数集；（2） 存在超越数.3、 （50分）对任意一个正整数，设其十进制表达为.证明：存在，使得的十进制表达的前位为.4、 （50分）11个兴趣班，若干学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）.已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生.求学生总人数的最小值.