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2-3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程1双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1的参数方程是规定参数的取值范围为0,2)且，.(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线1的参数方程是2抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程为tR. (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数双曲线、抛物线参数方程的基本问题例1(1)双曲线(为参数)的焦点坐标是_(2)将方程化为普通方程是_思路点拨(1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利用代入法消去t.解析(1)将化为1，可知双曲线焦点在y轴上，且c4，故焦点坐标是(0，4)(2)由ytan2t，将tan tx代入上式，得yx2即为所求方程答案(1)(0，4)(2)yx2(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec ，则焦点在y轴上1若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于()A2B3C4 D5解析：选C抛物线的普通方程为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.2如果双曲线(为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是_解析：由双曲线参数方程可知a1，故P到它左焦点的距离|PF|10或|PF|6.答案：10或6双曲线、抛物线参数方程的应用例2设直线AB过双曲线1(a0，b0)的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点求证：直线PA，PB斜率的乘积为定值思路点拨先用双曲线的参数方程表示点A，B，P的坐标，再证kPAkPB定值证明如图所示，设P，A，btan .直线AB过原点O，A，B两点的坐标关于原点对称，则B，故kPAkPB，为定值在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标3过点A(1,0)的直线l与抛物线y28x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN.又设MN的中点为P(x，y)，则kAP，由kMNkAP，知t1t2，又则y216(tt2t1t2)164(x1)所求轨迹方程为y24(x1)法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y28x上知两式相减得yy8(x1x2)，即(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，.设线段MN的中点为P(x，y)，y1y22y.由kPA，又k MN，.y24(x1)线段MN的中点P的轨迹方程为y24(x1)一、选择题1曲线(t为参数)的焦点坐标是()A(1,0)B(0,1)C(1,0) D(0，1)解析：选B将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，该曲线为抛物线y24x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)2已知抛物线的参数方程为(t为参数，p0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1t20，则|AB|等于()A2p(t1t2) B2p(tt)C2p|t1t2| D2p(t1t2)2解析：选C因为x12pt，x22pt，所以x1x22p(tt)2p(t1t2)(t1t2)0，所以|AB|y2y1|，又因为y12pt1，y22pt2，所以|y2y1|2p|t1t2|.故选C.3方程(t为参数)的图形是()A双曲线左支 B双曲线右支C双曲线上支 D双曲线下支解析：选Bx2y2e2t2e2t(e2t2e2t)4.且xetet22.表示双曲线的右支4P为双曲线(为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则F1PF2重心的轨迹方程是()A9x216y216(y0)B9x216y216(y0)C9x216y21(y0)D9x216y21(y0)解析：选A由题意知a4，b3，可得c5，故F1(5,0)，F2(5,0)，设P(4sec ，3tan )，重心M(x，y)，则xsec ，ytan .从而有9x216y216(y0)二、填空题5曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是_解析：将曲线的参数方程化为普通方程为(x2)29(y1)，令y0，得x1或x5，故交点坐标为(1,0)，(5,0)答案：(1,0)，(5,0)6双曲线(为参数)的两条渐近线的倾斜角为_解析：将参数方程化为y21，此时a1，b，设渐近线倾斜角为，则tan .30或150.答案：30或1507点P(1,0)到曲线(t为参数)上的点的最短距离为_解析：设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则dt211.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.答案：1三、解答题8设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|F2P|OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为则(|F1P|F2P|)2(sec )2tan2(sec )2tan2(sec2 2sec 2tan2)(sec2 2sec 2tan2)(sec 1)2(sec 1)2(2sec2 1)2.又|OP|2sec2 tan22sec2 1，由此得|F1P|F2P|OP|2.9求点P(0,1)到双曲线x2y24的最小距离解：设双曲线x2y24上任一点坐标为M，则|PM|22(2tan 1)24(1tan2)4tan24tan 18tan24tan 582.则当tan 时，|PM|.所以|PM|min，即点P到双曲线的最小距离为.10.如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y22px(p0)上异于顶点的两动点，且OAOB，点A，B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？解：根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1t2，且t1t20)，则|OA|2p|t1|，|OB|2p|t2|.因为OAOB，所以0，即2pt2pt2pt12pt20，所以t1t21.所以AOB的面积为SAOB|OA|OB|2p|t1|2p|t2|2p2|t1t2|2p22p22p24p2.当且仅当t，即t11，t21时，等号成立所以点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)时，AOB的面积最小，最小值为4p2.
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