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1.3.1二项式定理学习目标1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点二项式定理及其相关概念思考1我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式答案(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2能用类比方法写出(ab)n(nN*)的展开式吗？答案能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，称为二项式定理二项式系数C(k0,1，n)通项Tk1Cankbk二项式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn1(ab)n展开式中共有n项()2在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()3Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()类型一二项式定理的正用、逆用例1(1)求4的展开式考点二项式定理题点运用二项式定理求展开式解方法一4(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.方法二44(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab_.答案44解析(1)41C()1C()2C()3C()414181292816，a28，b16，ab281644.反思与感悟(1)(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n；字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练1化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.类型二二项展开式通项的应用例2已知二项式10.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数解10的展开式的通项是Tk1C(3)10kkC310kk (k0,1,2，10)(1)展开式的第4项(k3)的二项式系数为C120.(2)展开式的第4项的系数为C37377 760.(3)展开式的第4项为T4T3177 760.反思与感悟(1)二项式系数都是组合数C(k0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第k1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.跟踪训练2已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数解(1)因为T3C()n224C，T2C()n12C，依题意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，nN*，故n9.(2)设第k1项含x3项，则Tk1C()9kk(2)kC，所以3，k1，所以第二项为含x3的项为T22Cx318x3.二项式系数为C9.例3已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项解通项公式为Tk1C(3)kC(3)k.(1)第6项为常数项，当k5时，有0，即n10.(2)令2，得k(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令t(tZ)，则102k3t，即k5t.kN，t应为偶数令t2,0，2，即k2,5,8.第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.反思与感悟(1)求二项展开式的特定项的常见题型求第k项，TkCank1bk1；求含xk的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练3(1)若9的展开式中x3的系数是84，则a_.考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案1解析展开式的通项为Tk1Cx9k(a)kkC(a)kx92k(0k9，kN)当92k3时，解得k3，代入得x3的系数，根据题意得C(a)384，解得a1.(2)已知n为等差数列4，2,0，的第六项，则n的二项展开式的常数项是_考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案160解析由题意得n6，Tk12kCx62k，令62k0得k3，常数项为C23160.1(x2)n的展开式共有11项，则n等于()A9 B10 C11 D8考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案B解析因为(ab)n的展开式共有n1项，而(x2)n的展开式共有11项，所以n10，故选B.212C4C8C(2)nC等于()A1 B1 C(1)n D3n考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案C解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a，2看成公式中的b，可得原式(12)n(1)n.3.n的展开式中，常数项为15，则n的值为()A3 B4 C5 D6考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案D解析展开式的通项为Tk1C(x2)nk(1)kk(1)kCx2n3k.令2n3k0，得nk(n，kN*)，若k2，则n3不符合题意，若k4，则n6，此时(1)4C15，所以n6.4在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A3项 B4项 C5项 D6项考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案C解析24的展开式的通项为Tk1C()24kkC，故当k0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项5求二项式()9展开式中的有理项考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项解Tk1C(1)kC，令Z(0k9)，得k3或k9，所以当k3时，4，T4(1)3Cx484x4，当k9时，3，T10(1)9Cx3x3.综上，展开式中的有理项为84x4与x3.1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记Cankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值一、选择题1S(x1)44(x1)36(x1)24x3，则S等于()Ax4 Bx41C(x2)4 Dx44考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案A解析S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)14x4，故选A.2设i为虚数单位，则(1i)6展开式中的第3项为()A20i B15iC20 D15考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式中的特定项答案D解析(1i)6展开式中的第3项为Ci215.3(xy)10的展开式中x6y4的系数是()A840 B840C210 D210考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案B解析在通项公式Tk1C(y)kx10k中，令k4，即得(xy)10的展开式中x6y4的系数为C()4840.4在n的展开式中，若常数项为60，则n等于()A3 B6C9 D12考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案B解析Tk1C()nkk2kC.令0，得n3k.根据题意有2kC60，验证知k2，故n6.5若(13x)n(nN*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为()A4 B27C36 D108考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案D解析Tk1C(3x)k，由C6，得n4，从而T4C(3x)3，故第四项的系数为C33108.6在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为()A5 B4C3 D2考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案C解析二项展开式的前三项的系数分别为1，C，C2，由其成等差数列，可得2C1C2n1，所以n8(n1舍去)所以展开式的通项Tk1Ck.若为有理项，则有4Z，所以k可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7设函数f(x)则当x0时，f(f(x)表达式的展开式中常数项为()A4 B6C8 D10考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案B解析依据分段函数的解析式，得f(f(x)f()4，Tk1C(1)kxk2.令k20，则k2，故常数项为C(1)26.二、填空题8.7的展开式中倒数第三项为_考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案解析由于n7，可知展开式中共有8项，倒数第三项即为第六项，T6C(2x)25C22.9若(x1)nxnax3bx2nx1(nN*)，且ab31，那么n_.考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案11解析aC，bC.ab31，即3，解得n11.10已知正实数m，若x10a0a1(mx)a2(mx)2a10(mx)10，其中a8180，则m的值为_考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案2解析由x10m(mx)10，m(mx)10的二项展开式的第9项为Cm2(1)8(mx)8，a8Cm2(1)8180，则m2.又m0，m2.11使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为_考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案5解析展开式的通项公式Tk1C(3x)nkk，Tk13nkC，k0,1,2，n.令nk0，nk，故最小正整数n5.三、解答题12若二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B4A，求a的值考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数解Tk1Cx6kk(a)kC，令63，则k2，得ACa215a2；令60，则k4，得BCa415a4.由B4A可得a24，又a0，a2.13已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项解已知二项展开式的通项为Tk1Cnkk(1)knkC.(1)因为第9项为常数项，即当k8时，2nk0，解得n10.(2)令210k5，得k(205)6.所以x5的系数为(1)64C.(3)要使2nk，即为整数，只需k为偶数，由于k0,1,2,3，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项四、探究与拓展14设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai) (i0,1,2)的位置如图所示，则a_.考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案3解析由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)即a01，a13，a24.由n的展开式的通项公式知Tk1Ck(k0,1,2，n)故3，4，解得a3.15设f(x)(1x)m(1x)n的展开式中含x项的系数是19(m，nN*)(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数解(1)由题设知mn19，所以m19n，含x2项的系数为CCCCn219n1712.因为nN*，所以当n9或n10时，x2项的系数的最小值为281.(2)当n9，m10或n10，m9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为CCCC156.
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