2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法学案 新人教A版选修4-5.doc

一数学归纳法1.了解数学归纳法的原理2.了解数学归纳法的使用范围3.会用数学归纳法证明一些简单问题1数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当nn0时命题成立(2)假设当nk(kN且kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当nn0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，推导nk1时命题也成立(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切nn0的自然数都成立1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳法的特点是由一般到特殊()(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n一定取1.()(3)数学归纳法得出的结论都是正确的()(4)数学归纳法中的两个步骤，第一步是归纳基础，第二步是归纳递推，两者缺一不可()(5)数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()An1成立Bn2成立Cn3成立 Dn4成立答案：C3用数学归纳法证明等式123(n3)，当n1时，左边应为_解析：因为当n1时，n34.所以左边应为1234.答案：1234用数学归纳法证明恒等式学生用书P54用数学归纳法证明1(n1，nN)【证明】(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即1.当nk1时，左边1，即当nk1时等式也成立由(1)和(2)知，等式对一切n1，nN均成立利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设 1.用数学归纳法证明：nN时，.证明：当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立假设nk(k1，kN)时，等式成立，即有，则当nk1时，.所以nk1时，等式也成立由可知，对一切nN等式都成立2已知数列an满足a11，an3n1an1(n2，nN)(1)求a2，a3；(2)求证：an.解：(1)由a11，得a2314，a332413.(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a11，所以等式成立假设nk(kN，k1)时等式成立，即ak，那么当nk1时，ak1ak3k3k.即nk1时，等式也成立由知等式对nN都成立用数学归纳法证明整除问题学生用书P55用数学归纳法证明(x1)n1(x2)2n1(nN)能被x23x3整除【证明】当n1时，(x1)11(x2)211x23x3能被x23x3整除，命题成立假设当nk(k1，kN)时，(x1)k1(x2)2k1能被x23x3整除，那么(x1)(k1)1(x2)2(k1)1(x1)(x1)k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x1)(x2)2k1(x2)2(x2)2k1(x1)(x1)k1(x2)2k1(x23x3)(x2)2k1.因为(x1)k1(x2)2k1和x23x3都能被x23x3整除，所以上面的式子也能被x23x3整除这就是说，当nk1时，(x1)(k1)1(x2)2(k1)1也能被x23x3整除根据可知，命题对任何nN都成立用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式 用数学归纳法证明对于整数n0，An11n2122n1能被133整除证明：(1)当n0时，A011212133能被133整除当n1时，A111312313323，能被133整除(2)假设nk(k1，kN)时，Ak11k2122k1能被133整除当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.所以nk1时，命题也成立根据(1)(2)，对于任意整数n0，命题都成立用数学归纳法证明几何命题学生用书P55平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)n2n2部分【证明】当n1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)1122，因此，n1时命题成立假设nk(k1，kN)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2部分如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即当nk1时，f(n)n2n2也成立根据可知n个圆把平面分成了f(n)n2n2部分利用数学归纳法证明几何问题的技巧(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊n1，2，3，猜出一般结论(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚nk与nk1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明平面上有n(n2，且nN)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点求证：这n条直线共有f(n)个交点证明：当n2时，两直线只有1个交点，又f(2)2(21)1.所以当n2时，命题成立假设当nk(k2且kN)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1)，则当nk1时，任取其中一条直线记为l，由归纳假设知，剩下的k条直线l1，l2，lk的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，lk的交点共有k个所以f(k1)f(k)kk.所以当nk1时，命题成立由可知，命题对一切nN且n2均成立1数学归纳法的适用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明2数学归纳法中两步的作用在数学归纳法中第一步“验证nn0时命题成立”是奠基，是推理证明的基础，第二步是假设与递推，保证了推理的延续性3运用数学归纳法的关键运用归纳假设是关键，在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从p(k1)中分离出p(k)再进行局部调整1求证：1(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，所以左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即1.当nk1时，1.这就是说，当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何nN，等式都成立2求证：Snn3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除证明：(1)当n1时，S1182749，能被9整除(2)假设当nk(k1，nN)时，Sn能被9整除，即Skk3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，Sk1(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)39k227k27Sk9(k23k3)因为Sk能被9整除，9(k23k3)能被9整除，所以Sk1能被9整除即当nk1时，Sn能被9整除由(1)(2)知，对nN，Sn能被9整除 故由(1)和(2)得，对n2，nN，等式恒成立