2019届高三数学6月模拟考试试题 理(普通班含解析).doc

2019届高三数学6月模拟考试试题 理(普通班，含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则A. 1，3 B. 3 C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】根据定义域，由函数单调性，求出集合A，解方程求出集合B，根据交集的意义求出交集.【详解】因为函数单调递增，所以时，函数取最小值，所以集合，解集合B中方程可得集合，所以.故选B.【点睛】本题主要考查集合的计算，求函数型集合时要注意观察集合表示的时值域还是定义域，通过单调性等性质求解，还要注意定义域的限制.2. 若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2i，则复数z1|z1|2+z2在复平面内对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由对称性可求得z2，根据模的公式求出z1的模，代入复数中，通过化简求出此复数，找出点的坐标，判断所在象限.【详解】由对称性得z2=2i，|z1|2=22+(1)2=5，所以z1|z1|2+z2=2i5+(2i)=2i3i=710110i，点的坐标为(710,110)，在第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查复数的计算及有关性质，要熟练掌握复数的各概念，复杂计算中注意符号，求虚部时注意只写系数.3. 已知函数f(x)=sin(x+)(0,|0,|2)的最小正周期是，所以，2=,=2,所以f(x)=sin(2x+)，将其图象向右平移3个单位后得到的函数为g(x)=sin(2x23+)，又因为g(x)=sin(2x23+)为奇函数，所以23+=k，可得=3，则f(x)=sin(2x3)，f(512)=sin(563)=1，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=512对称，故选D.视频4. 若X-B（5，15），则（ ）A. E(X)=1且D(X)=45 B. E(X)=15 且D(X)=1C. E(X)=1 且D(X)=15 D. E(X)=45 且D(X)=1【答案】A【解析】【分析】本题随机变量服从二项分布，根据公式计算期望和方差即可.【详解】E(X)=515=1，D(X)=515(115)=45.故选A.【点睛】本题考查二项分布，掌握二项分布的表示方法，求期望和方差可直接用公式，注意区分二项分布与正态分布的表示.5. 已知函数f(x)=x2+sin2x,x1f(x+3),x0,b0)的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足PF2=F1F2,F1F2P=120，则双曲线的离心率为（ ）A. 3+12 B. 5+12 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知：|PF2|=|F1F2|=2c，因为等腰三角形的顶角为120，所以根据三角形的性质可求出|PF1|=23c，由双曲线定义可得：|PF1|PF2|=2a=(232)c，由离心率公式可得：e=ca=2232=3+12.故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或a2等，构造离心率.12. 若函数f(x)在区间A上，对a,b,cA,f(a),f(b),f(c)可以为一个三角形的三边长，则称函数y=f(x)为“三角形函数”。已知函数f(x)=xlnx+m在区间1e2,e上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（ ）A. 1e,e2+2e B. 2e,+ C. 1e,+ D. e2+2e,+【答案】D【解析】试题分析：根据“三角形函数”的定义可知，若f(x)在区间A上的“三角形函数”，则f(x)在A上的最大值和最小值应满足M2m，由f(x)=lnx+1=0可得x=1e，所以f(x)在1e2,1e)上单调递减，在1e,e)上单调递增，f(x)min=f(1e)=m1e,f(x)max=f(e)=m+e，所以e+m2(m1e)0，解得m的取值范围为(1e,e2+2e)，故选A.考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比较区间端点的函数值求出最大值，列出关于参数m的不等式，进而求得其范围.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知(1+ax)(12x)5的展开式中，x3的系数为20，则实数a=_【答案】32【解析】分析：先求(1-2x)5中x3,x2的系数，再根据x3的系数为-20求出a的值.详解：令(1-2x)5的通项为Tr+1=C5r(2x)r=C5r(2)rxr,当x=3时，x3的系数为C53(2)3=80.当x=2时，x2的系数为C52(2)2=40，所以1（-80）+a40=40a-80=-20,所以a=32.故答案为：32点睛：（1）本题主要考查二项式定理和二项式展开式的项的系数，意在考查学生对这些基础的掌握能力和分类讨论思想方法. (2)解答本题的关键是求(1-2x)5中x3,x2的系数，然后x3的系数为1（-80）+a40=40a-80.14. 已知平面区域=(x,y)|0x,0y1，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线y=cos2x下方的概率为_【答案】12【解析】分析：先化简y=cos2x=1+cos2x2，再求0(12+cos2x2)dx，再求点落在曲线y=cos2x下方的概率.详解：y=cos2x=1+cos2x2，所以0(12+cos2x2)dx=(12x+14sin2x)|0=2，所以点落在曲线y=cos2x下方的概率为21=12.故答案为：12点睛：（1）本题考查定积分和几何概型的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是求点落在曲线y=cos2x下方的面积.15. 设抛物线C：x2=4y的焦点为F，其准线与y轴交于点M，过点M作直线交抛物线C于A，B两点，若AMB=90，则|AF|=_【答案】2【解析】分析：先设直线AB方程为y=kx+1,再利用MAMB=0求出k的值，最后求|AF|.详解：设直线AB方程为y=kx+1,联立x2=4yy=kx+1,x24kx4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),x10.则x1+x2=4k,x1x2=4.由题得MA=(x1,y1+1),MB=(x2,y2+1),因为AMB=90，所以MAMB=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=4(1+k2)+8k2+4=4k2=0，所以k=0.所以x1=2,y1=1. A(2,1),|AF|=2.故答案为：2点睛：（1）本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力. (2)解答本题的关键是根据MAMB=0求出k的值.16. 如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADDC，AB=AD=1，BAD=23，射线BC上的两个动点E，F使得DC平分EDF（点E在线段BC上且与B、C不重合），则当BF+4BE取最小值时，tanEDF=_【答案】3【解析】分析：先建立直角坐标系，再由cos=cos得ab=3，最后利用基本不等式求BF+4BE的最小值从而求出tanEDF.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，设B(0，0),A(0，1),D(32,32),C(3,0),E(a,0),F(b,0)，由cos=cos得ab=3,且0a3b，BF+4BE=b+4a=b+12b2b12b=43.当b=23,a=32时，不等式取等号.此时DEBF, tanEDF=EFDE=233232=3.故答案为：3点睛：（1）本题主要考查坐标法，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到利用坐标法解答，其二是由cos=cos得ab=3.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列an的公差d0，其前n项和为Sn，若a2+a8=22，且a4，a7，a12成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Tn=1S1+1S2+1Sn，证明：Tn34【答案】（1）an=2n+1nN*；（2）见解析【解析】分析：（）由题意可求得等差数列an的公差d=2，a1=3，从而可得an=2n+1（）由（）可得1Sn=1nn+2=121n-1n+2，然后根据裂项相消法得到Tn=34-121n+1+1n+2，由此可得结论成立详解：（）数列an为等差数列，且a2+a8=22，a5=12a2+a8=11a4,a7,a12成等比数列，a72=a4a12，即11+2d2=11-d11+7d，又d0,d=2，a1=11-42=3，an=3+2n-1=2n+1nN*.（）证明：由（）得Sn=na1+an2=nn+2，1Sn=1nn+2=121n-1n+2Tn=1S1+1S2+1Sn=121-13+12-14+13-15+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-121n+1+1n+234Tn34点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x（单位：吨，100x150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润（1）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求Px120；（2）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（3）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x100,110，则取x=105的概率等于市场需求量落入100,110的频率），求T的分布列及数学期望ET【答案】（1）0.7；（2）T=0.8x39,100x13065,130x150；（3）见解析【解析】分析：（）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解（）结合题意用分段函数的形式表示T与x的关系（）先确定T的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望详解：（）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：Px120=P120x130+P130x140+P140x150=0.03010+0.02510+0.01510=0.7（）当x100,130时，T=0.5x-0.3130-x=0.8x-39，当x130,150时，T=0.5130=65所以T=0.8x-39,100x0)，且MN平面PCD，求实数m的值；（2）若AB=AD=DP,BAD=60,PB=2AD,且PDAD, 求二面角BPCD的余弦值【答案】(1)见解析;(2)64.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得AMAC=13结合线面平行的性质定理可得 m=ANAP=AMAC=13（2）由几何关系可得PD平面ABCD，故以D为坐标原点，DA,DP的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面PBC的一个法向量为n1=(1,2,3)，平面PCD的一个法向量为 n2=(3,0,1)据此可得cos=64，则二面角B-PC-D 的正弦值为104.详解：（1）因为AB/CD,所以AMMC=ABCD=12,即AMAC=13 因为MN/平面PCD，MN平面PAC，平面PAC平面PCD=PC，所以MN/PC 所以ANAP=AMAC=13，即m=13（2）因为AB=AD,BAD=60,可知为等边三角形，所以BD=AD=PD，又BP=2AD，故BP2=PD2+DB2，所有PDDB由已知PDAD,ADBD=D，所以PD平面ABCD，如图，以D为坐标原点，DA,DP的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB=1，则AB=AD=DP=1,CD=2，所以，则PB=(12,-1,32),PC=(-1,-1,3)，设平面PBC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则有n1PB=0,n1PC=0,即x1-2y1+3z1=0,x1+y1-3z1=0.设x1=1，则y1=2,z1=3，所以n1=(1,2,3)， 设平面PCD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，由已知可得n2DC=0,n2DP=0,即x2-3z2=0,y2=0.令z2=1，则x2=3，所以 n2=(3,0,1)所以cos=n1n2n1n2=13+02+31222=64，设二面角B-PC-D的平面角为，则点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且过点P(22,32)，动直线：y=kx+m交椭圆C于不同的两点A，B，且OAOB=0（O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程.（2）讨论3m2-2k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1)x22+y2=1;(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得b2=1，a2=2，故所求的椭圆方程为x22+y2=1.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得3m2-2k2=2为定值.试题解析：（1）由题意可知ca=22，所以a2=2c2=2(a2-b2)，即a2=2b2，又点P(22,32)在椭圆上，所以有24a2+34b2=1，由联立，解得b2=1，a2=2，故所求的椭圆方程为x22+y2=1.（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由OAOB=0，可知x1x2+y1y2=0.联立方程组y=kx+m,x22+y2=1,消去y化简整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，由=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)0，得1+2k2m2，所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，又由题知x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理为(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.将代入上式，得(1+k2)2m2-21+2k2-km4km1+2k2+m2=0.化简整理得3m2-2-2k21+2k2=0，从而得到3m2-2k2=2.21. 设函数f(x)=a2lnx+x2ax(aR).（1）试讨论函数f(x)的单调性；（2）设(x)=2x+(a2a)lnx，记h(x)=f(x)+(x)，当a0时，若方程h(x)=m(mR)有两个不相等的实根x1，x2，证明h(x1+x22)0.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：若a0时，当x(0,a)时，函数f(x)单调递减，当x(a,+)时，函数f(x)单调递增；若a=0时，函数f(x)单调递增；若a0)，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析：（1）由f(x)=-a2lnx+x2-ax，可知f(x)=-a2x+2x-a= 2x2-ax-a2x=(2x+a)(x-a)x.因为函数f(x)的定义域为(0,+)，所以，若a0时，当x(0,a)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若a=0时，当f(x)=2x0在x(0,+)内恒成立，函数f(x)单调递增；若a0时，当x(0,-a2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增.（2）证明：由题可知h(x)=f(x)+(x)= x2+(2-a)x-alnx (x0)，所以h(x)=2x+(2-a)-ax= 2x2+(2-a)x-ax=(2x-a)(x+1)x.所以当x(0,a2)时，h(x)0；当x=a2时，h(a2)=0.欲证h(x1+x22)0，只需证h(x1+x22)h(a2)，又h(x)=2+ax20，即h(x)单调递增，故只需证明x1+x22a2.设x1，x2是方程h(x)=m的两个不相等的实根，不妨设为0x1x12-x22+2x1-2x22(x1-x2+lnx1-lnx2)，即x1+x2=x12-x22+2x1-2x2x1-x2+lnx1-lnx2.因为x1-x2+lnx1-lnx20，所以（*）式可化为lnx1-lnx22x1-2x2x1+x2，即lnx1x22x1x2-2x1x2+1.因为0x1x2，所以0x1x21，不妨令t=x1x2，所以得到lnt2t-2t+1，t(0,1).记R(t)=lnt-2t-2t+1，t(0,1)，所以R(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20，当且仅当t=1时，等号成立，因此R(t)在(0,1)单调递增.又R(1)=0，因此R(t)0，t(0,1)，故lnt0得证.22. 直角坐标系xoy中，曲线c1：x=2+5cosy=1+5sin (为参数）c2：y=kx （x0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线c3的极坐标方程为：=63sin2+9.（1）求c1的普通方程及c3的直角坐标方程。（2）c2过点2，1与曲线c1交于不同于原点的点A,与曲线c3交于点B，求A、B两点的距离。【答案】(1) C1:(X-2)+(y-1)=5，x23+y24=1;(2)25-152.【解析】【分析】（1）根据平方和消参求C1的直角坐标方程，由极坐标与直角坐标互化的公式即可求得C3的直角坐标方程；（2）由于曲线C2过原点和另一点，可以求出其斜率，再将曲线C2化为极坐标形式，令曲线C2分别与另两条曲线的极坐标方程联立，求出1,2，由|AB|=|12|，即可求出结果.【详解】（1）C1:(X-2)+(y-1)=5，C3:=63sin2+9 即x23+y24=1.(2)C2的极坐标方程=（0,）又C2过点（2，1），所以tan=,cos=,sin=,由曲线C1:(X-2)+(y-1)=5 ，所以-4cos-2sin=0.与=联立得-4cos-2sin=0 =2,同理联立C2于C3得3cos+4sin=12,得=所以=-=2-【点睛】本题考查参数方程与直角坐标方程以及直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，以及极坐标中利用的几何意义求长度，求弦长有多种方式，本题线段长是由一条过原点的直线构造的，所以采用极坐标的方式去解题.23. 已知函数f(x)=，g(x)=a（1）当a=3时，解不等式（关于x的）f(x)g(x)+3.（2）若f(x)g(x)-1 对于任意x都成立，求a的取值范围。【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）写出不等式，根据绝对值零点进行分段求解即可，最后各段结果取并集.（2）对自变量进行分类讨论，分离参数，利用绝对值三角不等式求解即可.【详解】（1）当a=3 时3+3即-3-30当X0时4-x+3x-30即x-即-x0当0x0即x0即X0所以1（当且仅当x=4时取“等号”） 所以 的最小值为1，所以a的取值范围是【点睛】绝对值不等式要利用每个绝对值的零点将定义域分为几段，分段求解，最后取并集；解绝对值类型不等式，要考虑绝对值三角不等式，化简两个绝对值相加或相减的形式，求参数范围问题，分离参数时注意运算的可行性，注意必要时要分类讨论.