2019-2020年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析 (V).doc

2019-2020年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析 (V)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1双曲线的一个焦点坐标为（）ABC（2，0）D（0，2）2已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）ABCD3设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若，l，则lB若，l，则 lC若，l，则lD若，l，则 l4设mR，命题“若m0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A若方程x2=m有实根，则m0B若方程x2=m有实根，则m0C若方程x2=m没有实根，则m0D若方程x2=m没有实根，则m05已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）Ay2=1Bx2=1C=1D=17已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）ABC3D48用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：正方体的截面不可能是直角三角形；正四面体的截面不可能是直角三角形；正方体的截面可能是直角梯形；若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形其中，所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”的否定是10已知点M（0，1），N（2，3）如果直线MN垂直于直线ax+2y3=0，那么a等于11在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为12一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为13设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点若|PF|=3，则OPF的面积为14学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点（）求证：PC平面BDE；（）证明：BDCE16（13分）如图，PA平面ABC，ABBC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点（）求证：AM平面PBC；（）求二面角APCB的余弦值17（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y26y+4=0（）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程18（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q（）若直线l的倾斜角为45，求|PQ|；（）设直线l的斜率为k（k0），点P关于原点的对称点为P，点Q关于x轴的对称点为Q，PQ所在直线的斜率为k若|k|=2，求k的值19（14分）如图，四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2（）求证：BD平面ADE；（）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF平面CDE，请说明理由20（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2（）求抛物线W1，W2准线间的距离；（）证明：A1B1A2B2；（）若l1l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值xx北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1双曲线的一个焦点坐标为（）ABC（2，0）D（0，2）【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键2已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知：2b=22c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e=【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（ab0），由2b=22c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e=，椭圆的离心率，故选D【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题3设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A若，l，则lB若，l，则 lC若，l，则lD若，l，则 l【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，l或l；在B中，由线面垂直的判定定理得l；在C中，l与相交、平行或l；在D中，l与相交、平行或l【解答】解：由，是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若，l，则l或l，故A错误；在B中，若，l，则由线面垂直的判定定理得l，故B正确；在C中，若，l，则l与相交、平行或l，故C错误；在D中，若，l，则l与相交、平行或l，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用4设mR，命题“若m0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A若方程x2=m有实根，则m0B若方程x2=m有实根，则m0C若方程x2=m没有实根，则m0D若方程x2=m没有实根，则m0【考点】四种命题【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案【解答】解：命题“若m0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题5已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】判充要条件就是看谁能推出谁由m，m为平面内的一条直线，可得；反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，且m，则，反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选B【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题6已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）Ay2=1Bx2=1C=1D=1【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的标准方程为（a0，b0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a0，b0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，双曲线的标准方程为：，故选A【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题7已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）ABC3D4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x0，y0），由基本不等式可得【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，线段AB的方程为，（x0，y0）1=2，xy3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题8用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：正方体的截面不可能是直角三角形；正四面体的截面不可能是直角三角形；正方体的截面可能是直角梯形；若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论【解答】解：正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确故选D【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何xR，都有x2+2x+50【考点】特称命题【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定【解答】解：因为命题“存在xR，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何xR，都有x2+2x+50故答案为：对任何xR，都有x2+2x+50【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础10已知点M（0，1），N（2，3）如果直线MN垂直于直线ax+2y3=0，那么a等于1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出【解答】解：点M（0，1），N（2，3），kMN=2，直线MN垂直于直线ax+2y3=0，2=1，解得a=1故答案为1【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题11在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD，BD1所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（1，0，0），=（1，1，1），设异面直线AD，BD1所成角为，则cos=异面直线AD，BD1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用12一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为： =2，底面边长为：4，侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=24=8故答案为：8【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养13设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点若|PF|=3，则OPF的面积为【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，xP=2，代入抛物线方程得：|yP|=2，SPOF=|OF|2=故答案为：【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键14学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x【考点】抛物线的标准方程【分析】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p0），则将点（a，m），（a+h，n），即可得出结论【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，抛物线方程为y2=x故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x【点评】本题考查抛物线的方程，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）（xx秋西城区期末）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点（）求证：PC平面BDE；（）证明：BDCE【考点】直线与平面平行的判定【分析】（）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PCOE，由此能证明PC平面BDE（）推导出BDAC，PABD，从而BD平面PAC，由此能证明BDCE【解答】（本小题满分13分）证明：（）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点又因为E是PA的中点，所以PCOE，（3分）因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE（6分）（）因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC（8分）因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，所以PABD（10分）又因为ACPA=A，所以BD平面PAC，（12分）又CE平面PAC，所以BDCE（13分）【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16（13分）（xx秋西城区期末）如图，PA平面ABC，ABBC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点（）求证：AM平面PBC；（）求二面角APCB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出PABC，BCAB，从而AMBC，再求出AMPB，由此能证明AM平面PBC（）在平面ABC内，作AzBC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系Axyz利用向量法能求出二面角APCB的余弦值【解答】（本小题满分13分）证明：（）因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC因为BCAB，PAAB=A，所以BC平面PAB（2分）所以AMBC（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AMPB（4分）所以AM平面PBC解：（）如图，在平面ABC内，作AzBC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，2）（10分）由（）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角APCB的平面角为，则cos=（12分）所以二面角APCB的余弦值为（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用17（13分）（xx秋西城区期末）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y26y+4=0（）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程【分析】（）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，求出圆心到直线l的距离，即可求l与圆C相交所得的弦长；（）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求出A的坐标，即可求直线l的方程【解答】解：（）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，（3分）所以，圆心到直线l的距离为=所以，所求弦长为2=2（6分）（） 设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）（8分）又A，B在圆C上，所以 x12+y126y1+4=0，4x12+4y1212y1+4=0（10分）解得y1=1，x1=1，（11分）即A（1，1）或A（1，1）（12分）所以，直线l的方程为y=x或y=x（13分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题18（13分）（xx秋西城区期末）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q（）若直线l的倾斜角为45，求|PQ|；（）设直线l的斜率为k（k0），点P关于原点的对称点为P，点Q关于x轴的对称点为Q，PQ所在直线的斜率为k若|k|=2，求k的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）直线l的倾斜角为45，直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；（）设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k的值【解答】解：（）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F1（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），又直线l的倾斜角为45，直线l的方程为y=x+1，（1分）由，整理得：7x2+8x8=0，（3分）则x1+x2=，x1x2=（4分）丨PQ丨=，|PQ|=；（）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，（6分）则x1+x2=，x1x2=，（8分）依题意P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），丨k丨=丨丨=丨丨，（10分）其中丨x1x2丨=，（11分）丨k丨=丨丨=2（12分）解得：7k2=9，k=，k的值（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题19（14分）（xx东城区二模）如图，四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2（）求证：BD平面ADE；（）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF平面CDE，请说明理由【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）证明BDAD，利用平面EAD平面ABCD，证明BD平面ADE；（）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求BE和平面CDE所成角的正弦值；（）求出平面BEF一个法向量，利用平面BEF平面CDE，向量的数量积为0，即可得出结论【解答】（I）证明：由BCCD，BC=CD=2，可得由EAED，且EA=ED=2，可得又AB=4，所以BDAD又平面EAD平面ABCD，平面ADE平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面ADE（II）解：建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，1）设直线BE与平面CDE所成的角为，则sin=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值（10分）（III）解：设，0，1，则设=（x，y，z）是平面BDF一个法向量，则令x=1，则=（1，0，）若平面BDF平面CDE，则=0，即，所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF平面CDE（14分）【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关键20（14分）（xx秋西城区期末）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2（）求抛物线W1，W2准线间的距离；（）证明：A1B1A2B2；（）若l1l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）根据抛物线的性质即可求出答案，（）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和，即可得到OA1B1OA2B2，即A1B1A2B2（）A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A1B1方程为x=ty+2p，A2B2方程为x=ty+4p，再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答案【解答】解：（）由已知，抛物线W1，W2的准线分别为x=和x=p，所以，抛物线W1，W2准线间的距离为（）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和=，同理=，所以OA1B1OA2B2，所以A1B1A2B2（）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，代入曲线y2=2px，得y22pty2pm1=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=2pm1由l1l2，得x1x2+y1y2=0，又y12=2px1，y22=2px2，所以+y1y2=0，由y1y2=2pm1，得m1=2p所以直线A1B1方程为x=ty+2p，同理可求出直线A2B2方程为x=ty+4p，所以|A1B1|=|y1y2|=2p，|A2B2|=4p，平行线A1B1与A2B2之间的距离为d=，所以梯形A1A2B2B1的面积12p2当t=0时，梯形A1A2B2B1的面积达最小，最小值为12p2【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，以及转化能力，属于中档题