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1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征基础巩固1.下列命题中,正确的是(D)(A)有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱(B)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面(C)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形(D)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形解析:根据棱柱的概念及性质可知D正确.2.下面关于棱锥的说法正确的是(D)(A)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥(B)底面是正多边形的棱锥是正棱锥(C)正棱锥的侧棱不一定相等(D)过棱锥的不相邻的两侧棱的截面是三角形解析:由于A中缺少了定义中的“其余各面是有一个公共顶点的三角形”,故A不正确;由于正棱锥的概念中除了底面是正多边形外,还要求顶点在底面上的射影是底面的中心,否则就不是正棱锥,故B不正确;根据正棱锥的概念可知,正棱锥的侧棱长相等,故C不正确,D显然正确.3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括(D)(A)一个圆台、两个圆锥(B)一个圆台、一个圆柱(C)两个圆台、一个圆柱(D)一个圆柱、两个圆锥解析:设等腰梯形ABCD,较长的底边为CD,则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥(如轴截面图),故选D.4.(2018安徽合肥模拟)如图所示,模块均由4个棱长为1的小正方体构成,模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上,使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为(A)(A)模块(B)模块(C)模块(D)模块解析:逐个选择检验可知,符合要求.5.在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,现沿DE,DF,EF把ADE,CDF,BEF折起,使A,B,C三点重合,则折成的几何体为.解析:由于E,F分别为AB,BC的中点,折起后A,B,C三点重合,DA,DC重合,EA,EB重合,FB,FC重合,故会形成一个三棱锥.答案:三棱锥6.在下面的四个平面图形中,哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图.(填序号)解析:结合展开图与四面体,尝试折叠过程,可知、正确.答案:7.(2018浙江衢州期中)用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的圆台上、下底面的半径分别为2 cm,5 cm,圆台的母线长为9 cm,则圆锥的母线长为.解析:用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的圆台上、下底面的半径分别为2 cm,5 cm,圆台的母线长为9 cm,设圆锥的母线长为x,则BCAO=x-9x,即25=x-9x,解得x=15.答案:158.在如图所示的三棱柱中放置着高为h的水,现将三棱柱倒放,使面ACC1A1着地,则此时水所形成的几何体是棱柱吗?为什么?解:是棱柱,如图所示,这是因为将平面ACC1A1着地,上面的水平面为DD1E1E,则水所形成的几何体为四棱柱ADEC-A1D1E1C1,其中面ADEC与面A1D1E1C1平行,且全等,侧面AA1D1D,DD1E1E,CC1E1E,AA1C1C分别为平行四边形,故水所形成的几何体为棱柱.能力提升9.(2018合肥一中高一测试)若圆台轴截面的两条对角线互相垂直,且上下底面半径之比为34,又其高为142,则圆台的母线长为(C)(A)82 (B)10 (C)20 (D)62解析:如图所示,由题可知rR=34,因为OO1OO2=34,又h=142,所以OO1=62,OO2=82,又BDAC,所以AOD,BOC均为等腰直角三角形,所以r=62,R=82,所以母线长l=(R-r)2+h2=8+1422=20.10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法:(1)由一个长方体割去一个四棱柱构成.(2)由一个长方体与两个四棱柱组合而成.(3)由一个长方体挖去一个四棱台构成.(4)由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中正确说法的序号是.解析:本题中的组合体可以看成是一个大的长方体割去一个四棱柱构成,也可以看成是一个小的长方体在肩上加两个四棱柱组合而成.答案:(1)(2)探究创新11.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由已知,得上底面半径O1A=2 cm,下底面半径OB=5 cm,又腰长为12 cm,所以高AM=122-(5-2)2=315(cm).(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l.由SAO1SBO,得l-12l=25.所以l=20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.12.如图,圆台的母线AB的长为20 cm,上、下底面的半径分别为5 cm, 10 cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.解:作出圆台的侧面展开图,如图所示,由RtOPA与RtOQB相似,得OAOA+AB=PAQB,即OAOA+20=510,解得OA=20 cm,所以OB=40 cm.设BOB=,由弧BB的长与底面圆Q的周长相等,得210=OB180,解得=90.所以在RtBOM中,BM2=OB2+OM2=402+302=502,所以BM=50 cm.即所求绳长的最小值为50 cm.点评:空间中直接求曲线的最长(短)距离不易解决,但平面中求距离的最值问题比较容易,因此将空间问题转化成平面问题是解决本类题的常用方法.本题要实现转化,只需将圆台侧面展开即可.
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