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考点53 关于点、直线对称的圆的方程要点阐述1设P，对称中心为（a，b），则P关于A的对称点为2设点P关于直线y=kx+b的对称点为则典型例题【例】已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，1)，两圆圆心都在直线xyc0上，则mc的值是()A1 B2C3 D0【答案】C【秒杀技】抓住相交弦与连心线垂直即可小试牛刀1若直线xy30始终平分圆(xa)2(yb)22的周长，则ab()A3 B2C5 D1【答案】A 【解析】由题可知，圆心(a，b)在直线xy30上，ab30，即ab32曲线x2+y2+2x2y=0关于（ ）A直线x=成轴对称 B直线y=x成轴对称C点（2，）成中心对称 D点（，0）成中心对称【答案】B【解析】方程可化为（x+）2+（y）2=4 表示圆，可以看出圆关于直线y=x对称3圆（x+2）2+y2=5关于原点O（0，0）对称的圆的方程为（ ）A（x+2）2+（y+2）2=5 Bx2+（y2）2=5C（x2）2+y2=5 Dx2+（y+2）2=5【答案】C【解析】已知圆的圆心（2，0）关于原点的对称点为（2，0），故所求对称圆的方程为（x2）2+y2 =5【解题技巧】关于点、直线对称的圆，半径没有发生变化，只要用对称找到圆心即可4方程x2+ y2+ Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（ ）AD+E=0 BD+F=0CE+ F=0 DD+E +F=0【答案】A【解析】是圆心，=0， D+E=05若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，则a、b应满足的关系式是()Aa22a2b30Ba22a2b50Ca22b22a2b10D3a22b22a2b10【答案】B 【解题技巧】两圆的方程相减即得公共弦所在直线方程6设圆上的点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且直线xy10被圆截得的弦长为2，求圆的方程【解析】设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意，知直线x2y0过圆心，a2b0又点A在圆上，(2a)2(3b)2r2直线xy10被圆截得的弦长为2，()22r2由可得或故所求方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244考题速递1若圆O：x2y24和圆C：x2y24x4y40关于直线l对称，则直线l的方程是()Axy0 Bxy20Cxy20 Dxy20【答案】D【解析】由题意，知两圆的圆心分别为O(0,0)，C(2,2)由于直线l为线段OC的垂直平分线，故直线l过线段OC的中点(1，1)，斜率为1，所以直线l的方程是xy202圆x2+y22x1=0关于直线2x y+3 =0对称的圆的方程是（ ）A（x+3）2+（y2）2= B（x3）2+（y+2）2=C（x+3）2+（y2）2=2 D（x3）2+（y+2）2=2【答案】C3已知圆C: x2+y2+2x+ay3= 0（a为实数）上任意一点关于直线l:xy+2=0的对称点都在圆C上，则a=_【答案】2【解析】由题意可得圆C的圆心（） 在直线xy+2=0上，将（）代入，得1（）+2=0，解得a=24已知一个圆C：(x2)2(y6)21和一条直线l：3x4y50，求圆关于直线l对称的圆的方程【解析】圆C：(x2)2(y6)21的圆心为C(2,6)，数学文化一个圆的故事有一个圆缺了一角，很不快乐，于是它动身去寻找所缺的一角它一路向前滚一路唱“我要去寻找失去的一角”，它忍受着日晒，经受着寒冷，被冰雪冰冻，又被太阳温暖由于缺了一角，它没法滚得太快，它有时候停下来和小虫说话，或是闻闻花的芳香，最快乐的是它和蝴蝶一起嬉戏的时光它渡过海洋，穿越沼泽和湖泊，翻越丘陵和高山终于有一天，它遇上了最合适的一角，总算找到了，它感觉真好它把一角装上，成了一个完美的圆它一路高兴地唱“我找到了我失去的一角”因为不再缺少什么，它越滚越快，快得停不下来和小虫说话，停不下来闻闻花香，停不下来和蝴蝶嬉戏，最后它再也不能唱歌了它开始明白了什么，停了下来，卸下那一角轻轻放下，从容的走开，又开始一路的歌唱“我要去寻找失去的一角”
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