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23.1抛物线及其标准方程预习课本P5659，思考并完成以下问题 1平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线()(2)抛物线y220x的焦点坐标是(0,5)()答案：(1)(2)2抛物线x2y2的准线方程是()AyByCx Dx答案：D3若抛物线y28x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()A(8,8) B(8，8)C(8，8) D(8，8)答案：C4已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x2的距离相等，则点P的轨迹方程为_答案：y28x抛物线的标准方程典例求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上解(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6,6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程活学活用1若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，准线方程为x1.答案：2x12抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y22ax(a0)，点A(m，3)由抛物线的定义得|AF|5，又(3)22am，a1或a9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.抛物线定义的应用典例(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4 D8(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程解析(1)由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.答案A(2)解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)一题多变1变结论若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|2.又点M的轨迹方程为y22x(x0)，所以由抛物线的定义得x02，解得x0.因为y2x0，所以y0，故点N的坐标为或.2变结论若本例(2)中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|MF|的最小值，并求出点M的坐标解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|AN|3.当A，M，N三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x02，即M(2,2)抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 抛物线的实际应用典例某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是x22py(p0)，则1022p(2)，所以p25，所以抛物线方程为x250y，即yx2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x8时，y821.28，即船体在x8之间通过，B(8，1.28)，此时B点距水面6(1.28)4.72(米)而船体高为5米，所以无法通行又因为54.720.28(米)，0.280.047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔求抛物线实际应用的五个步骤活学活用如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米答案：2层级一学业水平达标1抛物线y12x2上的点到焦点的距离的最小值为()A3B6C. D.解析：选C将方程化为标准形式是x2y，因为2p，所以p.故到焦点的距离最小值为.2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A. B1C2 D4解析：选C抛物线y22px的准线x与圆(x3)2y216相切，1，即p2.3若抛物线y22px(p0)上横坐标是2的点M到抛物线焦点的距离是3，则p()A1 B2C4 D8解析：选B抛物线的准线方程为x，点M到焦点的距离为3，23，p2.4过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A. B.C. D2解析：选C焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则由点A到准线l：x1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立可得2x25x20，所以点B的横坐标为，纵坐标为，所以SAOB1(2).5已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：选D双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y.6已知抛物线C：4xay20恰好经过圆M：(x1)2(y2)21的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_，准线方程为_解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4xay20得a1，将抛物线C的方程化为标准方程得y24x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1.答案：(1,0)x17已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：8对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高为h，则|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米层级二应试能力达标1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8 D12解析：选B由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.2抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2 B4C6 D4解析：选D如图，FPM是等边三角形由抛物线的定义知PMl.在RtMQF中，|QF|2，QMF30，|MF|4，SPMF424.故选D.3设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心的轨迹为()A抛物线 B双曲线C椭圆 D圆解析：选A法一：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r.由两圆外切，得圆心C到点(0,3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0,3)，由题意得|CA|r1y1，y1，化简得yx21，圆心的轨迹是抛物线4经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1为()A. B.C. D.解析：选C由抛物线的定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1，即A1FB1.5设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.解析：因为0，所以点F为ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC16.答案：66已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程，得1，其焦点坐标为(2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程x3a，而由|PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的方程为y28x，其准线方程为x2.答案：x27.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF，则直线FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则直线MN的方程为yx2.解方程组得所以N.8设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为.(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即|PB|PF|的最小值为4.
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