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第一章 导数及其应用章末检测(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线yxex1在点(1,1) 处切线的斜率等于()A2eBeC2 D1解析：由yxex1得yex1xex1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率ky|x1e111e112.故选C.答案：C2二次函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf(x)的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在()A第象限 B第象限C第象限 D第象限解析：设f(x)ax2bxc，二次函数yf(x)的图象过原点，c0，f(x)2axb，由yf(x)的图象可知，2a0，a0，0，0，故选A.答案：A3设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于()A2 B2C3 D3解析：f(x)li li a，f(1)a3.答案：C4若f(x)x22x4ln x，则f(x)的单调递增区间为()A(1,0) B(1,0)(2，)C(2，) D(0，)解析：f(x)2x2，由f(x)0得x2. 答案：C5已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()A37 B29C5 D11解析：由f(x)6x212x6x(x2)0，解得x0或x2，又f(0)m，f(2)m8，f(2)m40，所以f(x)maxm3，f(x)minm4034037.答案：A6已知f(x)2cos2x1，x(0，)，则f(x)的单调递增区间是()A. B.C. D.解析：f(x)2cos2x12cos 2x，x(0，)，f(x)2sin 2x.令f(x)0，则sin 2x0.又x(0，)，02x2.2x2，即x.答案：C7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：由图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数在x2处取得极大值，在x2处取得极小值，选D.答案：D8由yx2与直线y2x3围成的图形的面积是()A. B.C. D9解析：解得交点A(3，9)，B(1，1)如图，由yx2与直线y2x3围成的图形的面积S3(x2)dx3(2x3)dxx3(x23x).答案：B9下列函数中，x0是其极值点的函数是()Af(x)x3 Bf(x)cos xCf(x)sin xx Df(x)解析：对于A，f(x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f(x)sin x，当x(，0)时，f(x)0，故f(x)cos x在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f(x)cos x10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.答案：B10已知函数f(x)asin xbcos x在x时取得极值，则函数yf(x)是()A偶函数且图象关于点(，0)对称B偶函数且图象关于点(，0)对称C奇函数且图象关于点(，0)对称D奇函数且图象关于点(，0)对称解析：f(x)的图象关于x对称，f(0)f()，ba，f(x)asin xbcos xasin xacos xasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asin x.显然f(x)是奇函数且关于点(，0)对称，故选D.答案：D11已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)2，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)1(xR)，则不等式f(x)x1的解集为()A(1，)B(，1)C(1,1)D(，1)(1，)解析：不等式f(x)x1可化为f(x)x1，设g(x)f(x)x，由题意g(x)f(x)10，g(1)f(1)11，故原不等式g(x)g(1)，故x1.答案：A12函数f(x)(1cos x)sin x在，的图象大致为()解析：在，上，f(x)1cos(x)sin(x)(1cos x)(sin x)(1cos x)sin xf(x)，f(x)是奇函数，f(x)的图象关于原点对称，排除B.取x，则f()(1cos)sin10，排除A.f(x)(1cos x)sin x，f(x)sin xsin x(1cos x)cos x1cos2xcos xcos2x2cos2xcos x1.令f(x)0，则cos x1或cos x.结合x，求得f(x)在(0，上的极大值点为，靠近，选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析：令ext，则xln t，所以f(x)ln xx，即f(x)1，则f(1)112.答案：214曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为_解析：因为ye5x2，所以y5e5x，所求切线的斜率为ky|x05e05，故所求切线的方程为y35(x0)，即y5x3或5xy30.答案：y5x3或5xy3015若函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增，则实数m的取值范围是_解析：f(x)，令f(x) 0，得1x1，即函数f(x)的增区间为(1,1)又f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以解得1m0.答案：(1,016周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_解析：设矩形的长为x，则宽为10x(0x0，当x(，10)时，V(x)0，当x时，V(x)取得最大值为 cm3.答案： cm3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)求曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积解析：因为f(3)li 27，所以在点(3,27)处的切线方程为y2727(x3)，即y27x54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，54)所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为25454.18(本小题满分12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解析：(1)f (x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex)令f(x)0，得xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)19. (本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bx在区间(2,1)内x1时取极小值，x时取极大值(1)求函数yf(x)在x2时的对应点的切线方程；(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值解析：(1)f(x)3x22axb.又x1，x分别对应函数取得极小值、极大值，所以1，为方程3x22axb0的两个根所以a1，(1).于是a，b2，则f(x)x3x22x.当x2时，f(2)2，即(2,2)在曲线上又切线斜率为kf(2)8，所求切线方程为y28(x2)，即为8xy140.(2)当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x2(2，1)1(1，)(，1)1f(x)00f(x)2则f(x)在2,1上的最大值为2，最小值为.20(本小题满分12分)已知二次函数f(x)3x23x，直线l1：x2和l2：y3tx(其中t为常数，且0t1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图所示，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)(1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)S(x)，xR.若过点A(1，m)(m4)可作曲线yh(x)(xR)的三条切线，求实数m的取值范围解析：(1)由得x2(t1)x0，所以x10，x2t1.所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t1.因为0t1，所以1t10，得x01或x01；由g(x0)0，得1x01，所以g(x0)在区间(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减，所以当x01时，函数g(x0)取极大值；当x01时，函数g(x0)取极小值因此，关于x0的方程2x6x0m0有三个不等实根的充要条件是即即4m4.故实数m的取值范围是(4,4)21(本小题满分13分)(2014高考北京卷)已知函数f(x)xcos xsin x，x0，(1)求证：f(x)0；(2)若ab对x(0，)恒成立，求a的最大值与b的最小值证明：(1)由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间(0，)上f(x)xsin x0时，“a”等价于“sin xax0”；“b”等价于“sin xbx0对任意x(0，)恒成立当c1时，因为对任意x(0，)，g(x)cos xc0，所以g(x)在区间0，上单调递减从而对g(x)g(0)0对任意x(0，)恒成立当0cg(0)0.进一步，“g(x)0对任意x(0，)恒成立”当且仅当g()1c0，即00对任意x(0，)恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x(0，)恒成立所以，若a0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，所以g(x)分别在区间1,0)，0,1)和1,2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1,2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线yf(x)相切
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