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动态问题 一.选择题1.（xx山东烟台市3分）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以lcm/s的速度沿ADC方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿ABC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止设运动时间为t（s），APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）ABCD【分析】先根据动点P和Q的运动时间和速度表示：AP=t，AQ=2t，当0t4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项C.D不正确；当4t6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项B不正确，从而得结论【解答】解：由题意得：AP=t，AQ=2t，当0t4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，SAPQ=APAQ=t2，故选项C.D不正确；当4t6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，SAPQ=APAB=4t，故选项B不正确；故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式2. （xx广西玉林3分）如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（） A平行B相交C垂直D平行、相交或垂直【分析】先判断出OA=OB，OAB=ABO，分两种情况判断出ABD=AOB=60，进而判断出AOCABD，即可得出结论【解答】解：AOB=60，OA=OB，OAB是等边三角形，OA=AB，OAB=ABO=60当点C在线段OB上时，如图1，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，当点C在OB的延长线上时，如图2，同的方法得出OABD，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，故选：A 3. （xx广西桂林3分） 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：分两种情形：当A与点N、M重合时来确定b的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A与点N重合时，CAAB，MN是直线AB的一部分，N（3，1）OB=1，此时b=1；当点A与点M重合时，如图2，延长NM交y轴于点D，易证ACNBMD MN=3-=,DM=，CN=1BD= OB=BD-OD=-1=,即b=-，b的取值范围是.故选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键.4.（xx广东3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在ABCD路径匀速运动到点D，设PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）ABCD【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可【解答】解：分三种情况：当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y=APh，AP随x的增大而增大，h不变，y随x的增大而增大，故选项C不正确；当P在边BC上时，如图2，y=ADh，AD和h都不变，在这个过程中，y不变，故选项A不正确；当P在边CD上时，如图3，y=PDh，PD随x的增大而减小，h不变，y随x的增大而减小，P点从点A出发沿在ABCD路径匀速运动到点D，P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确；故选：B【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出PAD的面积的表达式是解题的关键5. （xx广东3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在ABCD路径匀速运动到点D，设PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（）ABCD【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可【解答】解：分三种情况：当P在AB边上时，如图1，设菱形的高为h，y=APh，AP随x的增大而增大，h不变，y随x的增大而增大，故选项C不正确；当P在边BC上时，如图2，y=ADh，AD和h都不变，在这个过程中，y不变，故选项A不正确；当P在边CD上时，如图3，y=PDh，PD随x的增大而减小，h不变，y随x的增大而减小，P点从点A出发沿在ABCD路径匀速运动到点D，P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确；故选：B【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出PAD的面积的表达式是解题的关键二.填空题【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围1.（xx江苏无锡2分）如图，已知XOY=60，点A在边OX上，OA=2过点A作ACOY于点C，以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC，点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PDOY交OX于点D，作PEOX交OY于点E设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是2a+2b5【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在RtHEP中，EPH=30，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论【解答】解：过P作PHOY交于点H，PDOY，PEOX，四边形EODP是平行四边形，HEP=XOY=60，EP=OD=a，RtHEP中，EPH=30，EH=EP=a，a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，2a+2b52. （xx达州3分）如图，RtABC中，C=90，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰RtAOP当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为 【分析】过O点作OECA于E，OFBC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，AOP=90，则可证明OAEOPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长【解答】解：过O点作OECA于E，OFBC于F，连接CO，如图，AOP为等腰直角三角形，OA=OP，AOP=90，易得四边形OECF为矩形，EOF=90，CE=CF，AOE=POF，OAEOPF，AE=PF，OE=OF，CO平分ACP，当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，AE=PF，即ACCE=CFCP，而CE=CF，CE=（AC+CP），OC=CE=（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC=（2+1）=，当AC=2，CP=CB=5时，OC=（2+5）=，当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=2故答案为2【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算也考查了全等三角形的判定与性质3. （xx杭州4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：把ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；把纸片展开并铺平；把CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=_。【答案】或3 【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】当点H在线段AE上时把ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上四边形ADFE是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上DC=DH=AB=AD+2在RtADH中，AD2+AH2=DH2AD2+（AD-1）2=（AD+2）2解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）AD=3+2 当点H在线段BE上时则AH=AE-EH=AD+1在RtADH中，AD2+AH2=DH2AD2+（AD+1）2=（AD+2）2解之：AD=3，AD=-1（舍去）故答案为： 或3【分析】分两种情况：当点H在线段AE上；当点H在线段BE上。根据的折叠，可得出四边形ADFE是正方形，根据正方形的性质可得出AD=AE，从而可得出AH=AD-1（或AH=AD+1），再根据的折叠可得出DH=AD+2，然后根据勾股定理求出AD的长。4. （xx嘉兴4分.）如图,在矩形中, , ,点在上,点是边上一动点,以为斜边作.若点在矩形的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则的值是_.【答案】0或或4【解析】【分析】在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆，观察圆和矩形矩形边的交点个数即可得到结论.【解答】当点F与点A重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.当点F从点A向点B运动时，当时，共有4个点P使是以为斜边.当时，有1个点P使是以为斜边.当时，有2个点P使是以为斜边.当时，有3个点P使是以为斜边.当时，有4个点P使是以为斜边. 当点F与点B重合时，以为斜边恰好有两个，符合题意.故答案为：0或或4【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在数学中的应用.三.解答题1.（xx江苏宿迁12分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E.F分别在边AB.CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A.D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值. 【分析】（1）由折叠性质可知BE=ME=x，结合已知条件知AE=1-x，在RtAME中，根据勾股定理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM的周长不会发生变化，且为定值2.连接BM、BP，过点B作BHMN，根据折叠性质知BE=ME，由等边对等角得EBM=EMB，由等角的余角相等得MBC=BMN，由全等三角形的判定AAS得RtABMRtHBM，根据全等三角形的性质得AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定HL得RtBHPRtBCP，根据全等三角形的性质得HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出PDM周长为定值2.（3）过F作FQAB，连接BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE，由全等三角形的判定ASA得RtABMRtQFE，据全等三角形的性质得AM=QE；设AM长为a，在RtAEM中，根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得AM=QE= ,BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出S与x的函数关系式；又由（1-x）2+a2=x2,得x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0a1），代入梯形面积公式即可转为关于a的二次函数，配方从而求得S的最小值.【详解】解：（1）由折叠性质可知：BE=ME=x，正方形ABCD边长为1，AE=1-x，在RtAME中，AE2+AM2=ME2 ， 即（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM的周长不会发生变化，且为定值2.连接BM、BP，过点B作BHMN，BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM+MBC=EMB+BMN=90，MBC=BMN，又正方形ABCD，ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN，在RtABM和RtHBM中， ,RtABMRtHBM（AAS），AM=HM，AB=HB=BC，在RtBHP和RtBCP中， , RtBHPRtBCP（HL），HP=CP，又CPDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2.PDM的周长不会发生变化，且为定值2.（3）解：过F作FQAB，连接BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE，在RtABM和RtQFE中， ,RtABMRtQFE（ASA），AM=QE，设AM长为a，在RtAEM中，AE2+AM2=EM2,即（1-x）2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- ，S= （CF+BE）BC = （x- +x）1= （2x- ）,又（1-x）2+a2=x2, x= =AM=BE，BQ=CF= -a，S= （ -a+ ）1= （a2-a+1）= （a- ）2+ ，0a1，当a= 时，S最小值= . 【点睛】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）. 2.（xx江苏徐州10分）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，其中m的取值范围是0m2+（直接写出结论，不必证明）探究二：若且AC=30cm，连接PQ，设EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围【分析】探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（2）作EMAB，ENBC于M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论【解答】解：探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得EP=EQ；（2）作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EMAB于点M，作ENBC于点N，在四边形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180（四边形的内角和是360），又EPB+MPE=180（平角是180），MPE=EQN（等量代换），RtMEPRtNEQ（AA），（两个相似三角形的对应边成比例）；在RtAMERtENC=m=，=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，0m2+；（当m2+时，EF与BC不会相交）探究二：若AC=30cm，（1）设EQ=x，则S=x2，所以当x=10时，面积最小，是50cm2；当x=10时，面积最大，是75cm2（2）当x=EB=5时，S=62.5cm2，故当50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，这样的三角形有一个【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解3.（xx江苏淮安12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A.B两点动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为t秒（1）当t=秒时，点Q的坐标是（4，0）；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况，利用正方形的面积减去三角形的面积，利用矩形的面积减去三角形的面积，利用梯形的面积，即可得出结论；（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论【解答】解：（1）令y=0，x+4=0，x=6，A（6，0），当t=秒时，AP=3=1，OP=OAAP=5，P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；故答案为（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OQ=6，AP=OQ=3，t=33=1，当0t1时，如图1，令x=0，y=4，B（0，4），OB=4，A（6，0），OA=6，在RtAOB中，tanOAB=，由运动知，AP=3t，P（63t，0），Q（66t，0），PQ=AP=3t，四边形PQMN是正方形，MNOA，PN=PQ=3t，在RtAPD中，tanOAB=，PD=2t，DN=t，MNOADCN=OAB，tanDCN=，CN=t，S=S正方形PQMNSCDN=（3t）2tt=t2；当1t时，如图2，同的方法得，DN=t，CN=t，S=S矩形OENPSCDN=3t（63t）tt=t2+18t；当t2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（63t）=3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（63t，0），Q（66t，0），M（66t，3t），T是正方形PQMN的对角线交点，T（6t，t）点T是直线y=x+2上的一段线段，（3x6），作出点O关于直线y=x+2的对称点O交此直线于G，过点O作OFx轴，则OF就是OT+PT的最小值，由对称知，OO=2OG，易知，OH=2，OA=6，AH=2，SAOH=OHOA=AHOG，OG=，OO=在RtAOH中，sinOHA=，HOG+AOG=90，HOG+OHA=90，AOG=OHA，在RtOFO中，OF=OOsinOOF=，即：OT+PT的最小值为【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点4.（xx江苏苏州10分）如图，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处设AE=x米（其中x0），GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图所示，（1）求图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由【分析】（1）根据点M、N的坐标，利用待定系数法即可求出图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立，连接EC，通过计算可得出ED=GD，结合CDEG，可得出CE=CG，根据等腰三角形的性质可得出CGE=CEG、FEGCGE，进而可得出FEFG；考虑FG=EG是否成立，由正方形的性质可得出BCEG，进而可得出FBCFEG，根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC，进而可得出CG、DG的长度，在RtCDG中，利用勾股定理即可求出x的值；考虑EF=EG是否成立，同理可得出若EF=EG则FB=BC，进而可得出BE的长度，在RtABE中，利用勾股定理即可求出x的值综上即可得出结论【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，将M（30，230）、N（100，300）代入y=kx+b，解得：，线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200（2）分三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立，连接EC，如图所示AE=x，AD=100，GA=x+200，ED=GD=x+100又CDEG，CE=CG，CGE=CEG，FEGCGE，FEFG；考虑FG=EG是否成立四边形ABCD是正方形，BCEG，FBCFEG假设FG=EG成立，则FC=BC成立，FC=BC=100AE=x，GA=x+200，FG=EG=AE+GA=2x+200，CG=FGFC=2x+200100=2x+100在RtCDG中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100，1002+（x+100）2=（2x+100）2，解得：x1=100（不合题意，舍去），x2=；考虑EF=EG是否成立同理，假设EF=EG成立，则FB=BC成立，BE=EFFB=2x+200100=2x+100在RtABE中，AE=x，AB=100，BE=2x+100，1002+x2=（2x+100）2，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=（不合题意，舍去）综上所述：当x=时，EFG是一个等腰三角形【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值5. （xx嘉兴12分）我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。（1）概念理解:如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值.（3）应用拓展: 如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,2【解析】分析：（1）过点A作AD直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论；（2）根据 ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC， 再由 ABC与ABC关于直线BC对称， 得到 ADC=90，由重心的性质，得到BC=2BD设BD=x，则AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得AC=x，即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：当AB=BC时，再分两种情况讨论； 当AC=BC时，再分两种情况讨论即可详解：（1）是理由如下：如图1，过点A作AD直线CB于点D，ADC为直角三角形，ADC=90 ACB=30，AC=6， AD=AC=3， AD=BC=3，即ABC是“等高底”三角形（2）如图2， ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，AD=BC， ABC与ABC关于直线BC对称， ADC=90 点B是AAC的重心， BC=2BD设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x ，由勾股定理得AC=x，（3）当AB=BC时，如图3，作AEl1于点E， DFAC于点F “等高底” ABC的“等底”为BC，l1/l2， l1与l2之间的距离为2， AB=BC，BC=AE=2，AB=2，BE=2，即EC=4，AC= ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到A B C，CDF=45 设DF=CF=x l1/l2，ACE=DAF，即AF=2xAC=3x=，可得x=，CD=x=如图4，此时ABC是等腰直角三角形， ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到A B C， ACD是等腰直角三角形， CD=AC= 当AC=BC时，如图5，此时ABC是等腰直角三角形 ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到A BC，ACl1，CD=AB=BC=2如图6，作AEl1于点E，则AE=BC，AC=BC=AE，ACE=45，ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到A BC时，点A在直线l1上，ACl2，即直线A C与l2无交点综上所述：CD的值为，2点睛：本题是几何变换-旋转综合题考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解6. （xx黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（3，0），点C在y轴正半轴上，且sinCBO=，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0t5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S（1）求点D坐标（2）求S关于t的函数关系式（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B.C.Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）在RtBOC中，OB=3，sinCBO=，设CO=4k，BC=5k，根据BC2=CO2+OB2，可得25k2=16k2+9，推出k=1或1（舍弃），求出菱形的边长即可解决问题；（2）如图1中，当0t2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t如图2中，当2t5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA分别求解即可解决问题；（3）分三种情形分解求解即可解决问题；【解答】解：（1）在RtBOC中，OB=3，sinCBO=，设CO=4k，BC=5k，BC2=CO2+OB2，25k2=16k2+9，k=1或1（舍弃），BC=5，OC=4，四边形ABCD是菱形，CD=BC=5，D（5，4）（2）如图1中，当0t2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t如图2中，当2t5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTAS=S梯形OCDASDQT=（2+5）4（5t）（5t）=t2+t（3）如图3中，当QB=QC，BQC=90，Q（，）当BC=CQ，BCQ=90时，Q（4，1）；当BC=BQ，CBQ=90时，Q（1，3）；综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（4，1）或（1，3）【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题7.（xx广东9分）已知RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，如题图1，连接BC（1）填空：OBC=60；（2）如图1，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【分析】（1）只要证明OBC是等边三角形即可；（2）求出AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于G【解答】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60，OBC是等边三角形，OBC=60故答案为60（2）如图1中，OB=4，ABO=30，OA=OB=2，AB=OA=2，SAOC=OAAB=22=2，BOC是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90，AC=2，OP=（3）当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E则NE=ONsin60=x，SOMN=OMNE=1.5xx，y=x2x=时，y有最大值，最大值=当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动作MHOB于H则BM=81.5x，MH=BMsin60=（81.5x），y=ONMH=x2+2x当x=时，y取最大值，y，当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于GMN=122.5x，OG=AB=2，y=MNOG=12x，当x=4时，y有最大值，最大值=2，综上所述，y有最大值，最大值为【点评】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题8.（xx贵州黔西南州16分）如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为6cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值【分析】（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论【解答】解：（1）四边形AOCB是矩形，OA=BC=16，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，t=，此时，点Q的运动距离是2=cm，故答案为，；（2）如图1，由运动知，AP=32=6cm，CQ=22=4cm，过点P作PEBC于E，过点Q作QFOA于F，四边形APEB是矩形，PE=AB=6，BE=6，EQ=BCBECQ=1664=6，根据勾股定理得，PQ=6，故答案为6；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=163t2t=165t，点P和点Q之间的距离是10cm，62+（165t）2=100，t=或t=；（4）k的值是不会变化，理由：四边形AOCB是矩形，OC=AB=6，OA=16，C（6，0），A（0，16），直线AC的解析式为y=x+16，设运动时间为t，AP=3t，CQ=2t，OP=163t，P（0，163t），Q（6，2t），PQ解析式为y=x+163t，联立解得，x=，y=，D（，），k=是定值【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形是解本题的关键9.（xx贵州贵阳12 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2，AD =的一点，且 BP = 2CP .3，P 是 BC 边上（1）用尺规在图中作出 CD 边上的中点 E ，连接 AE.BE （保留作图痕迹，不 写作法）；（2）如图，在（1）的条件下，判断 EB 是否平分 AEC ，并说明理由；（3）如图，在（2）的条件下，连接 EP 并延长交 AB 的延长线于点 F ，连接 AP ，不添加辅助线， DPFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 DPAE 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向或平移方向和平移距离）【解】（1）分别以 D.C 为圆心，以相同且大于 1 DC =2接 MN 交 DC 于点 E ，即为 DC 的中点，如下图：3为半径作圆相交于 M、N 两点，连2（2）由题意及（1）知： EC = 1 AB = 1 2 = 122在 RtDBCE 中， BC = 3 tan BEC = BC = 3EC BEC = 60由勾股定理得： EB =EC 2 + BC 2 =12 + (3)2 = 2同理： AE = 2 AE = AB = EB AEB = ABE = BAE = 60 AEB = BEC = 60 EB 是否平分 AEC .（3） DPFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 DPAE 组成一个等腰三角形.理由如下： BP = 2CP，AD = BC = 3 BP =2 3 ，CP = 333在 RtDECP 中， tan EPC = EC = 3PC ECP = 60 BPF = 60由勾股定理得： EP =EC 2 + CP 2 =12 + (3 )2 = 2 333 EP = PB由题意知： C = ABP = 90 BP = AB = 2CPEC DABP DECP APB = 60 BPF = APB = 60 ABP = FBP = 90，BP = BP RtDABP RtDFBP APB = CPE = 60 EPA = 180 - (APB + CPE ) = 60 APB = APE又 AP = AP RtDABP RtDAEP RtDABP RtDAEP RtDFBP DPFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 DPAE 组成一个等腰三角形.-: APFBPFP 120. ;:APFBP 120.PF3=:EFIDJf FDE C_ - - JSDJ DSSB1FA B F A10.（xx贵州贵阳10 分）如图，AB 为 O 的直径，且 AB = 4 ，点 C 在半圆上，OC AB ， 垂足为点 O ， P 为半圆上任意一点，过 P 点作 PE OC 于点 E，设 DOPE 的内心为 M ,连接 OM、PM .（1）求 OMP 的度数；（2）当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长.【解】（1） PE OC PEO = 90 EPO + EOP = 90 M 是 DOPE 的内心 EOM = POM，EPM = OPM POM + OPM = 1 (EPO + EOP) = 452在 DPOM 中， OMP = 180 - (POM + OPM ) = 180 - 45 = 135（2）连接 CM ，作过 O、M、C 三点的外接圆，即 N ，连接 NC.NO ，在 N的优弧上任取一点 H ，连接 HC.HO .如图所示：由题意知： OP = OC，POM = COM，OM = OM DPOM DCOM OMP = OMC = 135在 N 的内接四边形 CMOH 中， H = 180 - OMC = 180 - 135 = 45 N = 2 45 = 90由题意知： OC = 1 AB = 1 4 = 222在等腰直角三角形 CNO 中， NC = NO由勾股定理得： NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 NC = 2当点 P 在上运动时，点 M 在上运动90 p的长为：180与关于 OC 对称2 = 2 p2当点 P 在上运动时，点 M 所在弧上的运动路径长与当点 P 在上运动时，点 M 在上运动的路径长相等当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时，求内心 M 所经过的路径长为：2 2 p = 2p2
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