2019届高三数学1月份阶段模拟测试试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学1月份阶段模拟测试试卷 理(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合A和集合B，根据子集的定义和交并运算检验选项即可得到答案.【详解】由得,由得,则=R,故选：D.【点睛】本题考查集合的包含关系以及集合的交并运算，属于基础题.2.已知命题命题q:，则下列命题中为真命题的是A. pq B. p(q) C. p(q) D. (p)q【答案】D【解析】【分析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：（1）p或q：一真比真，全假才假；（2）p且q：全真才真，一假比假；（3）p：真假相反.3.已知a=30.4,b=0.43,c=log0.43，则（ ）A. bac B. cab C. acb D. cb30=1y=0.4x是定义域上的减函数，00.430.40=1y=log0.4x是定义域上的减函数，log0.43log0.41=0cba故选D4.在复平面内，复数满足z1+i=12i，则对应的点位于 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标即可.详解：由z1+i=12i，得z=12i1+i=12i1i1+i1i=1232i，z=12+32i，则对应的点的坐标为12,32，位于第二象限，故选B.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的坐标表示法及其几何意义，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，戊所得为（ ）A. 34 钱 B. 23钱 C. 12 钱 D. 43 钱【答案】B【解析】【分析】由题意列出等差数列各项，再根据已知条件求得各项值，从而得到答案.【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，即a2d+ada+a+d+a+2d，得a6d，又五人分五钱，则a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1，则a+2da+2a62a3=23故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项和等差数列性质的应用，考查前n项和的应用，属于基础题.6.若直线l:x+my+2-3m=0被圆C:x2+y2-2x-24=0截得的线段最短，则m的值为（ ）A. -3 B. 13 C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】求出动直线过的定点M，当直线l与CM垂直时弦长最短，根据两直线垂直斜率乘积为1，即可求出m【详解】动直线l: x+my+2-3m=0即x+2+(y-3)m=0过定点M（-2，3），圆C的圆心为C（1，0），半径r=5，M在圆C内部，当直线l与线段MC垂直时，弦长最短，kMC=-1，最短弦AB所在直线的斜率为1，1m=1，即m=-1故选：C【点睛】本题考查过圆内定点得到的最短弦问题，理解圆的几何性质是关键；过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦为以该点为中点的弦.7.为了得到y=cosx5的图像，只需把y=sinx图像上的所有的点（ ）A. 向右平移2个单位，同时横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 向左平移2个单位，同时横坐标伸长到原来的15倍，纵坐标不变C. 横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变，再向左平移52个单位D. 横坐标伸长为原来的15倍，纵坐标不变，再向右平移52个单位【答案】C【解析】【分析】先结合诱导公式,将两条曲线转化成同名的三角函数,然后结合左加右减上加下减原则以及周期,即可得出答案.【详解】把y=sinx上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y=sinx5的图像，再将得到的图像向左平移52个单位长度，即可得到y=cosx5=sin(x5+2)的图像，故选:C.【点睛】本题考查的是三角函数的平移和伸缩变换，首先保证三角函数同名，不同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.8.某几何体的三视图如图所示，俯视图由正三角形及其中心与三个顶点的连线组成，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. 16 B. 32 C. 36 D. 64【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体为正三棱锥，则外接球的球心在三棱锥的高线上，然后利用勾股定理求得球的半径，即可得到球的表面积.【详解】由三视图可知该几何体为正三棱锥S-ABC，三棱锥的底面是边长为6的等边三角形且三棱锥的高为6，设三棱锥外接球的球心为O，半径为r,且球心O在高线SD上，在RtODC中，OD=6-r,OC=r,CD= 63223=23,由勾股定理得OC2=OD2+CD2，即r2=6r2+232，解得r=4,所以外接球得表面积S=4r2=416=64,故选：D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两两垂直则用4R2=a2+b2+c2（a,b,c为三棱的长）；若SA面ABC（SA=a），则4R2=4r2+a2（r为ABC外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.9.在数列an中，a1=1,an+1=an+n+1n，则a2018的值为（ ）A. xx1008 B. xx1009 C. xx1008 D. xx1009【答案】B【解析】【分析】根据已知条件an+1-an=n+-1n,利用累加法并结合等差数列的前n项和公式即可得到答案.【详解】an+1-an=n+-1n,a2018-a2017=2017+-1,a2017-a2016=2016+1,a2016-a2015=2015+-1,a2015-a2014=2014+1, a3-a2=2+1,a2-a1=1+-1,将以上式子相加得a2018-a1=2017+2016+2，即a2018=2017+2016+2+1=2017(1+2017)2=20171009，故选：B.【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n项和公式的应用.10.若等边ABC的边长为6，其所在平面内一点M满足3CA+2CB=6CM，则AMMB的值为（ ）A. 8 B. 6 C. -4 D. -2【答案】A【解析】【分析】由已知画出图形，把AM，MB都用CB,CA表示，展开后代入数量积公式求值【详解】如图，ABC是边长为6的等边三角形，且CM=13CB+12CA，AMMB=AC+CMCBCMCA+13CB+12CACB13CB12CA13CB12CA23CB12CA29CB212CBCA+14CA229CB212CBCAcos60+14CA22936126612+1436=8故选:A【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量基本定理的应用，是中档题11.已知直线l过点A(-1,0)且与B：x2+y22x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的离心率为（ ）A. 3 B. 2 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】设直线l：yk（x+1），求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：dr，求得斜率k，即得到渐近线的斜率，从而得到双曲线的离心率.【详解】可设直线l：yk（x+1），B：x2+y22x0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，dk+k-01+k21，解得k33，可得渐近线方程为y33x，直线l方程为y33（x+1），联立x2+y22x0，解得x12，y32，即D（12，32），设双曲线的方程为y2-13x2m（m0），又双曲线E过点D，代入D的坐标，可得m=34-112=23则双曲线的方程为3y22-x22=1则ba=3，e2=1+b2a2=4，e=2,故选：B【点睛】本题考查直线和圆相切的条件，考查双曲线渐近线，属基础题.12.已知函数f(x)=x22x+a(ex1+ex+1)有唯一零点，则a=A. 12 B. 13 C. 12 D. 1【答案】C【解析】函数f(x)的零点满足x22x=aex1+ex+1，设gx=ex1+ex+1，则gx=ex1ex+1=ex11ex1=e2x11ex1，当gx=0时，x=1；当x1时，gx1时，gx0，函数gx单调递增，当x=1时，函数gx取得最小值，为g1=2.设hx=x22x，当x=1时，函数hx取得最小值，为1，若a0，函数hx与函数agx没有交点；若a0的焦点F与双曲线C2:x23y2b2=1的一个焦点重合，若点F到双曲线C2的一条渐近线的距离为1，则C1的焦点F到其准线的距离为_.【答案】4【解析】【分析】求得抛物线的焦点，可得p2c，再由焦点到渐近线的距离为1可得b值，结合c2=a2+b2，得到c，从而得到答案.【详解】抛物线C1:y2=2pxp0的焦点与双曲线C2:x23-y2b2=1的一个焦点重合,则p2=c，又c2=3+b2=p24，点Fc,0到双曲线渐近线bx3y=0的距离为1，即bc3+b2=1，又c2=3+b2，解得b=1,即c=2,所以p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离p=4.故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式16.已知函数fx=2x，且fx=gx+hx，其中gx为奇函数，hx为偶函数。若关于x的方程上2agx+h2x=0在0,2有解，则实数a的取值范围是_.【答案】(-,-2【解析】【分析】先根据已知结合函数的奇偶性求出函数g（x）与f（x）的解析式，然后再代入到2ag（x）+h（2x）=0中，分离参数a，将问题转化为函数的最值问题来解【详解】由已知得g（x）+h（x）2x，所以g（x）+h（x）2x，又因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，所以g（x）+h（x）2x，联立解得h(x)=12(2x+2x)，g(x)=12(2x2x)代入等式2ag（x）+h（2x）=0得：a（2x2x）+12（22x+22x）=0在0,2上有解令t=2x2x0,154，则22x+22xt2+2则原式可化为a=t2+22t=12(t+2t)，t0,154当t2时，右式取得最大值为-2，即有a-2故答案为：(-,-2【点睛】本题考查函数奇偶性性质的应用以及方程有解问题转化为函数最值问题，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知ABC的面积为a23sinA(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.【答案】(1)sinBsinC=23(2) 3+33.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式12acsinB=a23sinA，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinBsinC的值；（2）由cosBcosC=16和sinBsinC=23计算出cos(B+C)=12，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和b+c的值，从而求出ABC的周长为3+33.试题解析：（1）由题设得12acsinB=a23sinA，即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.（2）由题设及（1）得cosBcosC-sinBsinC=-12,，即cos(B+C)=-12.所以B+C=23，故A=3.由题设得12bcsinA=a23sinA，即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9，即(b+c)2-3bc=9，得b+c=33.故ABC的周长为3+33.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y=Asin(x+)+b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18.已知函数f(x)=4tan xsin（2x）cos（x3） 3.（）求f（x）的定义域与最小正周期；（）讨论f（x）在区间4,4上的单调性.【答案】（）x|x2+k,kZ，；（）在区间12,4上单调递增, 在区间4，12上单调递减.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：f(x)=2sin（2x3），再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（）根据（）的结论，研究函数f（x）在区间4,4上单调性.试题解析：（）f(x)的定义域为x|x2+k,kZ.f(x)=4tanxcosxcos(x3)3=4sinxcos(x3)3=4sinx(12cosx+32sinx)3=2sinxcosx+23sin2x3=sin2x+3(1cos2x)3=sin2x3cos2x=2sin（2x3）.所以,f(x)的最小正周期T=22=.（）令z=2x3,函数y=2sinz的单调递增区间是2+2k,2+2k,kZ.由2+2k2x32+2k,得12+kx512+k,kZ.设A=4,4,B=x|12+kx512+k,kZ，易知AB=12,4.所以, 当x4,4时,f(x)在区间12,4上单调递增,在区间4，12上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为yAsin（x）k的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式【此处有视频，请去附件查看】19.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设二面角DAEC为60，AP=1，AD=3，求三棱锥EACD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）38【解析】试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设BD与AC交点为O，过PB的平面PBD与平面AEC的交线就是OE，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥EACD的体积，关键是求得底面三角形ACD的面积（高为E到底面的距离，即为PA的一半），已知条件是二面角DAEC大小为3，为此可以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设B(m,0,0) (m0)，写出各点坐标，求得平面DAE和平面CAE的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得m，从而可求得底面积，体积试题解析：（1）证明：连BD，设BDAC=O，连EO，E是PD的中点，EOPB，EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则D(0,3,0),E(0,32,12),AE=(0,32,12)设B(m,0,0) (m0)则C(m,3,0),AC=(m,3,0)设n1=(x,y,z)为平面AEC的法向量，则n1AC=mx+3y=0n1AE=32y+12z=0取n1=(3m,1,3)又n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，|cos|=33+4m2=12，m=32因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为12，VEACD=13123212=38考点：线面平行的判定，二面角20.（本小题满分12分）Sn为数列an的前n项和.已知an0，an2+2an=4Sn+3.（）求an的通项公式；（）设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.【答案】（）2n+1（）1614n+6【解析】试题分析：（）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列an的通项公式；（）根据（）数列bn的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.试题解析：（）当n=1时，a12+2a1=4S1+3=4a1+3，因为an0，所以a1=3，当n2时，an2+anan12an1=4Sn+34Sn13=4an，即(an+an1)(anan1)=2(an+an1)，因为an0，所以anan1=2，所以数列an是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n+1；（）由（）知，bn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+112n+3)，所以数列bn前n项和为b1+b2+bn=12(1315)+(1517)+(12n+112n+3)=1614n+6.考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【此处有视频，请去附件查看】21.已知点A(0，2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1 (ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）x24+y2=1 （2）y=72x2 【解析】试题分析：设出F，由直线AF的斜率为233求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得b，即可求椭圆方程；（2）点lx轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线l:y=kx2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求.试题解析：（1）设F(c,0)，因为直线AF的斜率为233，A(0,-2)所以2c=233，c=3. 又ca=32,b2=a2-c2解得a=2,b=1，所以椭圆E的方程为x24+y2=1.（2）解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)由题意可设直线的方程为：y=kx-2，联立x24+y2=1，y=kx-2,消去y得(1+4k2)x2-16kx+12=0，当=16(4k2-3)0，所以k234，即k32时x1+x2=16k1+4k2,x1x2=121+4k2.所以|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(16k1+4k2)2-481+4k2=41+k24k2-31+4k2点O到直线的距离d=2k2+1所以SOPQ=12d|PQ|=44k2-31+4k2，设4k2-3=t0，则4k2=t2+3，SOPQ=4tt2+4=4t+4t424=1，当且仅当t=2，即4k2-3=2，解得k=72时取等号，满足k234所以OPQ的面积最大时直线的方程为：y=72x-2或y=-72x-2.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.【此处有视频，请去附件查看】22.已知函数fx=x1ex12ax2aR（1）当a1时，求fx的单调区间；（2）当x0,+时，y=fx的图象恒在y=ax3+x2a1x的图象上方，求a的取值范围.【答案】()详见解析(),12【解析】【分析】（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想 yf（x）的图象恒在yax3+x2（a1）x的图象上方，即xexaxax3+x2（a1）x对x（0，+）恒成立；即 exax2x10对x（0，+）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围.【详解】（1）f（x）xexaxx（exa）当a0时，exa0，x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当0a1时，令f（x）0得x0或xlna（i） 当0a1时，lna0，故：x（，lna）时，f（x）0，f（x）单调递增，x（lna，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； （ii） 当a1时，lna0，f（x）xexaxx（ex1）0恒成立，f（x）在（，+）上单调递增，无减区间； 综上，当a0时，f（x）的单调增区间是（0，+），单调减区间是（，0）；当0a1时，f（x）的单调增区间是（，lna）和（0，+），单调减区间是（lna，0）；当a1时，f（x）的单调增区间是（，+），无减区间（2）由（I）知f（x）xexax当x（0，+）时，yf（x）的图象恒在yax3+x2（a1）x的图象上方；即xexaxax3+x2（a1）x对x（0，+）恒成立；即 exax2x10对x（0，+）恒成立； 记 g（x）exax2x1（x0），g（x）ex2ax1h（x）；h（x）ex2a；（i） 当a12时，h（x）ex2a0恒成立，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g（0）0；g（x）在（0，+）上单调递增；g（x）g（0）0，符合题意； （ii）当时，令h（x）0得xln（2a）；x（0，ln（2a）时，h（x）0，g（x）在（0，ln（2a）上单调递减；x（0，ln（2a）时，g（x）g（0）0；g（x）在（0，ln（2a）上单调递减，x（0，ln（2a）时，g（x）g（0）0，不符合题意； 综上可得a的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等题型