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第3课时特殊角的三角函数值知能演练提升能力提升1.若AD为ABC的高,AD=1,BD=1,DC=3,则BAC等于()A.105或15B.15C.75D.1052.如图,AB是O的直径,弦AC,BD相交于点E,若AED=60,则CDAB等于()A.3B.233C.32D.123.已知A是ABC的内角,且sinB+C2=32,则tan A=.4.已知B是RtABC的一个内角,且tan B=3,则cosB2=.5.若2sin(x+10)-1=0,则锐角x=.6.因为cos 30=32,cos 210=-32,所以cos 210=cos(180+30)=-cos 30=-32;因为cos 45=22,cos 225=-22,所以cos 225=cos(180+45)=-cos 45=-22;猜想:一般地,当为锐角时,有cos(180+)=-cos ,由此可知cos 240的值等于.7.小颖将手中的一副三角尺按如图所示摆放在一起,连接AD后,你能帮她求出ADB的正切值吗?8.由于水资源缺乏,B,C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下输水管道.有人设计了三种铺设方案,分别如图,.图中实线表示管道铺设线路,在图中,ADBC于D;在图中,OA=OB=OC.为减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路应尽量缩短.已知ABC恰好是一个边长为a m的等边三角形,请你通过计算,判断哪个铺设方案最好.创新应用9.要求tan 30的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作RtABC,使C=90,斜边AB=2,直角边AC=1,则BC=3,ABC=30,tan 30=ACBC=13=33.在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan 15的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan 15的值.参考答案能力提升1.A2.D因为C=B,DEC=AEB,所以DECAEB.所以CDAB=DEEA.连接AD,因为AB是O的直径,所以ADE=90,所以cosAED=DEEA=12.故CDAB=12.3.3sinB+C2=32,B+C2=60,B+C=120.A=180-(B+C)=60,tan A=3.4.32tan B=3,B=60,B2=30,cosB2=32.5.35由题意,得sin(x+10)=22,所以x+10=45,即x=35.6.-12由示例及猜想可知,若一个大于平角的角可以将其表示成一个平角与一个锐角的和,则该大于平角的角的余弦值等于这个锐角的余弦值的相反数,所以cos 240=cos(180+60)=-cos 60=-12.7.解 如图,作AEDB,交DB的延长线于点E,则ABE=45.设BE=AE=x,则在RtABE中,由勾股定理,得AB=2x.在RtABC中,BC=ABtan30=6x.在RtBDC中,BD=BCsin 45=3x.DE=(1+3)x.tanADB=AEDE=x(1+3)x=3-12.8.解 题图所示方案的线路总长为AB+BC=2a m.如题图,在RtABD中,AD=ABsin 60=32a(m),所以题图所示方案的线路总长为AD+BC=32+1a m.如图,延长AO交BC于点E,因为AB=AC,OB=OC,所以OEBC,BE=EC=a2 m.在RtOBE中,OBE=30,OB=BEcos30=33a(m).所以题图所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=3a m.比较可知,3a32+1a2a,所以题图所示方案最好.创新应用9.解 此处只给出两种方法(还有其他方法).(1)如图,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD.则D=15,tan 15=ACDC=12+3=2-3.(2)如图,延长CA到点E,使CE=CB,连接BE.过点A作AGBE,垂足为G.则AEG为等腰直角三角形,且AE=3-1,BE=6,AG=3-12=6-22,ABE=15.故tan 15=AGBG=6-226-6-22=6-26+2=2-3.
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