2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷(含解析) (I).doc

xx-2019学年高二数学上学期期末考试试卷(含解析) (I)一选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程得，求出，即得结论【详解】抛物线中，即， 所以焦点到准线的距离是故选B【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程是，焦点坐标是焦点到准线的距离为本题属于基础题2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. 63 B. 255 C. 55 D. 105【答案】D【解析】【分析】连接A1C1得A1C1平面BB1D1D，从而可作出直线BC1与平面BB1D1D所成的角，解三角形可得【详解】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，因为A1B1C1D1是正方形，因此有A1C1B1D1，又由BB1平面A1B1C1D1，可得BB1A1C1，从而有A1C1平面BB1D1D，C1BO是直线BC1与平面BB1D1D所成的角由已知BC1=5，C1O=2，sinC1BO=C1OBC1=25=105故选D【点睛】本题求直线与平面所成的角，解题时要注意三个步骤：一作二证三计算，即作图，作出空间角的“平面角”，然后证明此角为所求角的“平面角”，最后计算出此角3.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|等于()A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为AB=x1+x2+p【详解】抛物线y2=4x中，p=2，AB=x1+x2+p=6+2=8，故选B【点睛】AB是抛物线的焦点弦，A(x1,y1),B(x2,y2)，p0，抛物线y2=2px的焦点弦长为AB=x1+x2+p，抛物线y2=2px的焦点弦长为AB=(x1+x2)+p，抛物线x2=2py的焦点弦长为AB=y1+y2+p，抛物线x2=2py的焦点弦长为AB=(y1+y2)+p4.过点P(4，1)，且与直线3x4y60垂直的直线方程是()A. 4x3y190 B. 4x3y130C. 3x4y160 D. 3x4y80【答案】B【解析】【分析】与直线3x4y60垂直的直线方程可设为4x+3y+m=0，代入点的坐标求出参数m即可【详解】设所求直线方程为4x+3y+m=0，又直线过点P(4,1)，44+3(1)+m=0，m=13，直线方程为4x+3y13=0，故选B【点睛】与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为BxAy+m=0，直线Ax+By+C=0平行的直线方程为Ax+By+m=05.已知圆C：x2+y2-4x-5=0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()A. 3x+2y7=0 B. 2x+y4=0 C. x2y30 D. x2y+3=0.【答案】D【解析】【分析】由题可知，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.【详解】由题可知，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长最短， P(1,2)，圆C：x2y24x50，标准方程为(x2)2+y2=9， C(2,0)，kCP=2012=2； kl=1kCP=12；由点斜式得直线l方程为：y2=12(x1)，即x2y+3=0.故选D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.6.双曲线x24y212=1的焦点到渐近线的距离为( )A. 23 B. 2 C. 3 D. 1【答案】A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23.考点：双曲线与渐近线【此处有视频，请去附件查看】7.已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=2，则球O表面积等于A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A【解析】解：已知S，A，B，C是球O表面上的点OA=OB=OC=OS=1又SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC= 2 ，球O的直径为2R=SC=2，R=1，表面积为4R2=4故选A8.“3m0m+305mm+3，即3m0,B0,且AB，方程Ax2By2=1或x2Ay2B=1表示双曲线的条件是AB09.已知m，n是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是()A. 若m，mn，则n B. 若m，n，则nmC. 若m，m，则 D. 若，m，则m【答案】C【解析】【分析】根据线面的位置关系一一判断选项即可.【详解】A中可能有n，B中应该是n/m，D中m与关系不确定，只有C正确过m作平面与平面交于直线b，m/，m/b，又m，b，C正确故选C【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握各种关系的判断与性质是解题关键，同时掌握空间关系的定义是解题基础解题时可用特例说明命题是错误的，从而排除错误结论10.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为（ ）A. 52 B. 33C. 12 D. 13【答案】B【解析】试题分析：设|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a(ac),PF1F2=900,F1PF2=600,|PF1|=233c,|PF2|=433c,233c+433c=2a,ca=33,e=33,故选B.考点：椭圆的简单几何性质.【易错点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质.椭圆离心率的求解方法:离心率是圆锥曲线的重要几何性质，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于，b，的关系式(等式或不等式)，转化为的关系式11.已知F1,F2是双曲线E:x2a2y2b2=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=13，则E的离心率为A. 2 B. 32C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】由MF1垂直于x轴，结合双曲线的定义可得|MF1|=b2a,|MF2|=2a+b2a，利用sinMF2F1=13，列出关系式，从而可求离心率.【详解】因为MF1垂直于x轴，所以|MF1|=b2a,|MF2|=2a+b2a，因为sinMF2F1=13，即|MF1|MF2|=b2a(2a+b2a)=13，化简得b=a，故双曲线离心率e=1+b2a2=2故选A【点睛】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题.12.已知点A(4，2)，F为抛物线y28x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|MF|取最小值时，点M的坐标为()A. (0,0) B. (1，22) C. (2，4) D. (12，2)【答案】D【解析】【分析】把MF转化为M到准线的距离MN，当N,M,A三点共线时，距离和最小【详解】如图，是抛物线的准线，作MNl，垂足为N，则MF=MN，易知当N,M,A三点共线时，MN+MA取得最小值为4+2=6，此时yM=2，8xM=(2)2，xM=12，即M点坐标为(12,2)，故选D【点睛】在圆锥曲线中涉及到曲线上的点到焦点的距离时，常常把它转化为该点到准线的的距离，有时也反过来转化，从而把最小值问题转化为平面上两点间距离线段最短，点到直线的距离是点到直线上的点的距离的最小值等等二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应位置上）13.过点M(3,2)作圆O：x2y24x2y40的切线方程是_【答案】y2或5x12y90【解析】【分析】设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求得参数值即可，如果只求出一条切线，则还要讨论切线斜率不存在的情形【详解】设切线方程为y2=k(x3)，即kxy+23k=0，已知圆标准方程为(x+2)2+(y1)2=1，由题意2k1+23kk2+1=1，解得k=0或k=512，代入化简得切线方程为y=2或5x12y+9=0【点睛】求圆的切线方程，一般用切线性质：圆心到切线的距离等于圆的半径去求解过圆外一点作圆的切线有两条，因此在只求出一条时，要注意讨论切线斜线不存在的情形14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，交点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1做直线交C于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_【答案】x216+y28=1【解析】试题分析：依题意：4a16，即a4，又e22，c22，b28.椭圆C的方程为x216+y28=1考点：椭圆的定义及几何性质【此处有视频，请去附件查看】15.已知(4,2)是直线被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点，则的方程是_【答案】x+2y8=0【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，x1+x2=32k216k1+4k2=8，解得 k=-12，故直线l的方程为 x+2y-8=0考点：直线与圆锥曲线的关系16.已知命题p：不等式xx10的解集为x|0xB”是“sinAsinB”成立的必要不充分条件有下列四个结论:p真q假；“pq”为真；“pq”为真；p假q真，其中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】先判断命题p,q的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假【详解】不等式xx-10等价于x(x-1)0，即0xBabsinAsinB，命题q为假，因此为假，为真【点睛】复合命题的真值表：pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真复合命题的真假可按真值表进行判断另外在ABC中AB与sinAsinB是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立三、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.已知p：2x10，q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围【答案】m9【解析】试题分析：将“p是q的必要不充分条件”转化为“p是q的充分不必要条件”，通过解二次不等式化简命题p，q，据p，q的关系写出端点的大小关系，列出不等式组，求出m的范围试题解析：p：2x10，p：A=x|x10或x0)，解得1mx1+m（m0），q：B=x|x1+m或x0）由p是q的必要而不充分条件可知：B A，m0,1m2,1+m10,或m0,1m2,1+m10解得m9满足条件的m的取值范围为m9考点：充分必要条件的应用18.已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2y23x0的公共弦所在直线过点(5，2)，求圆C的方程【答案】(x2)2(y1)24.【解析】【分析】先设圆C半径，再对应相减两圆方程得公共弦所在直线方程，代入点求得半径.【详解】设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x2)2(y1)2r2，即x2y24x2y5r2，两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x2y5r20.因为该直线过点(5，2)，所以r24，则圆C的方程为(x2)2(y1)24.【点睛】本题考查两圆公共弦求法，考查基本求解能力.19.已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4,10)。（）求双曲线方程； （）若点M(3,m)在此双曲线上，求MF1MF2。【答案】（）x2y2=6（）0【解析】试题分析：（1）设双曲线方程为x2y2=(0)，由双曲线过点(4,10)，能求出双曲线方程；（2）由点M(3,m)在此双曲线上，得m=3由此能求出MF1MF2的值试题解析：（）由题意，设双曲线方程为x2y2=(0)将点(4,10)代入双曲线方程，得42(10)2=，即=6所以，所求的双曲线方程为x2y2=6（）由（1）知F1(23,0),F2(23,0)因为M(3,m)，所以MF1=(233,m),MF2=(233,m)又M(3,m)在双曲线x2y2=6上，则m2=3MF1MF2=(233)(233)+m2=12+9+3=0考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系20.已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离【答案】（1）8（2）92【解析】【分析】（1）由y26x，得准线方程、焦点F32,0，直线的方程为y0=tan60x32，与抛物线方程联立可得x25x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，由抛物线的定义可知线段AB的长；（2）|AB|=p+x1+x2=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离【详解】(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60又F，所以直线l的方程为y联立消去y得x25x0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3又准线方程是x，所以M到准线的距离为3【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.21.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.（）证明： BC1/平面A1CD;（）设AA1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】（）见解析（）VCA1DE=1312632=1【解析】试题分析：（）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DFBC1再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1平面A1CD（）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD平面ABB1A1求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1DDE进而求得SA1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为13SA1DECD，运算求得结果试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF 3分因为DF平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分所以BC1平面A1CD 5分（2）解：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1AB=A，于是CD平面ABB1A1 8分由AA1=AC=CB=2，得ACB=90，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D 10分所以三菱锥CA1DE的体积为：=1 12分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【此处有视频，请去附件查看】22.如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC1，AB2，M是PB的中点(1)证明：平面PAD平面PCD；(2)求AC与PB的夹角的余弦值；(3)求二面角AMCB的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）105；（3）23【解析】【分析】（1）由PA底面ABCD，得PACD，直角梯形中CDAD，从而可得CD平面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得面面垂直；（2）分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标+，求出两直线的方向向量，由向量的夹角得异面直线所成角的余弦；（3）在（2）基础上求出两平面AMC和BMC的法向量，由法向量夹角与二面角相等或互补可求得【详解】（1）证明：PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，直角梯形中CDAD，ADPA=A，CD平面PAD，平面ABCD平面PAD解：（2）分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则有A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，M(0,1,12)，AC=(1,1,0)，PB=(0,2,-1)，ACPB=2，设AC,PB所成角为，则cos=ACPB|AC|PB|=225=105，AC,PB所成角的余弦值为105（3）由（2）AM=(0,1,12)，设平面AMC的法向量为n=(x,y,z)，则nAM=y+12z=0nAC=x+y=0，取z=2，则y=-1,x=1，即n=(1,-1,2)，设平面ABC的法向量为m=(x2,y2,z2)，BC=(1,-1,0)，BM=(0,-1,12)，则mBC=x2y2=0mBM=y2+12z2=0，取z2=2，则y2=x2=1，即m=(1,1,2)，cos=nm|n|m|=1-1466=23，又二面角B-AC-M为锐角，其余弦值为23【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查求异面直线所成的角和二面角，解题方法是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，用向量法求得空间角，这样只要计算而不需要作图23.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点M()求OMOP的值；()求ABM面积的最大值【答案】(1)x24+y2=1 (2) ()2()63【解析】【分析】（1）两圆交点在椭圆上，说明有2a=1+3=4，从而得a=2，再由离心率求得，最后可得b值；（2）（i）设P(x0,y0)，OMOP=，写出M点坐标，把P,M的坐标分别代入相应椭圆方程即可求得；（ii）设A(x1,y1),B(x2,y2)，把直线方程代入椭圆E方程消元后得一元二次方程，应用韦达定理求得x1x2，而SOAB=mx1x2，这样令t=m21+4k2，可化SOAB为的函数，k.m满足的关系可由二次方程根的判别式求出，注意直线与椭圆E和椭圆C都相交，两次应用判别式可得00.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S，故，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值.由()知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆中的最值问题在直线与椭圆相交问题中，一般采取设而不求思想，即设出交点坐标为，把直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，再用它们表示出题中要求的量，本题中的面积应用换元法求得OAB的面积的最大值，其三倍即为MAB的面积，这种题型主要考查学生的计算能力，推理能力