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第一章 集合与函数概念周练卷(三)(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】 知识点、方法题号函数单调性1,4,5,13,16函数最值7,10,17函数奇偶性3,6函数性质综合2,8,9,11,12,14,15,18,19,20一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数g(x)=在1,2上为减函数,则a的取值范围为(C)(A)(-,0) (B)0,+)(C)(0,+) (D)(-,0解析:因为y=在1,2上是减函数,所以要使g(x)=在1,2上是减函数,则有a0.故选C.2.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是(A)(A)减函数 (B)增函数(C)有增有减 (D)增减性不确定解析:f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,所以m=0,所以f(x)=-x2+3,开口向下,f(x)在区间(2,5)上是减函数.故选A.3.已知x0时,f(x)=x-2 013,且知f(x)在定义域上是奇函数,则当x0时,f(x)的解析式是(A)(A)f(x)=x+2 013 (B)f(x)=-x+2 013(C)f(x)=-x-2 013 (D)f(x)=x-2 013解析:设x0,所以f(-x)=-x-2 013,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 013,故选A.4.已知函数y=ax和y=-在(0,+)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上是(A)(A)减函数且f(0)0 (B)增函数且f(0)0 (D)增函数且f(0)0解析:因为y=ax和y=-在(0,+)上都是减函数,所以a0,b0, f(x)=bx+a为减函数且f(0)=a0,故选A.5.函数f(x)=x|x-2|的增区间是(C)(A)(-,1 (B)2,+)(C)(-,1,2,+) (D)(-,+)解析:f(x)=x|x-2|=作出f(x)简图如图.由图象可知f(x)的增区间是(-,1,2,+).6.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.则函数y=f(x)g(x)的图象可能是(A)解析:由图象的对称性(或奇偶性)可知B不可能;由函数值的正负分析可知C,D不可能,故可能是A.故选A.7.已知f(x)为奇函数,且当x0,则-x0,由f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2+3x+2,可得f(-x)=(-x)2+3(-x)+2=x2-3x+2,即-f(x)=x2-3x+2,故f(x)=-(x-)2+.当x1,3时,函数f(x)的最小值为f(3)=-2.故选C.8.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x)|1的解集是(B)(A)(-3,0) (B)(0,3)(C)(-,-13,+) (D)(-,01,+)解析:|f(x)|1等价于-1f(x)1,因为A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,且函数f(x)是R上的增函数,所以0x3,所以|f(x)|1的解集是(0,3),故选B.9.若对于任意实数x,都有f(-x)=f(x),且f(x)在(-,0上是增函数,则(D)(A)f(-2)f(2) (B)f(-1)f(-)(C)f(-)f(2) (D)f(2)-,所以f(-1)f(-),所以B不正确;对于C,f(2)=f(-2),因为f(x)在(-,0上是增函数,-2-,所以f(2)=f(-2)f(-),所以C不正确,D正确.故选D.10.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=则F(x)的最值是(C)(A)最大值为3,最小值为1(B)最大值为2-,无最小值(C)最大值为7-2,无最小值(D)最大值为3,最小值为-1解析:依题意作出函数F(x)的图象,如图实线部分所示.由图象可知,F(x)图象的最高点为A,没有最低点,由解得x=2-,所以A(2-,7-2).所以F(x)的最大值为7-2,无最小值.故选C.11.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2) =0,则使得f(x)0的x的取值范围是(B)(A)(-,2) (B)(-2,2)(C)(2,+) (D)(-,-2)(2,+)解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,f(x)的示意图如图所示.当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0,由对称性知,x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2) =0,故x(-2,2)时,f(x)0,因此选B.12.设f(x)是奇函数,且在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)0的解集是(D)(A)(-3,0)(3,+)(B)(-,-3)(0,3)(C)(-,-3)(3,+)(D)(-3,0)(0,3)解析:由条件得f(3)=-f(-3)=0,xf(x)0或或0x3或-3x0.故选D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.函数y=的单调区间是 .解析:因为y=可由y=向左平移1个单位得到,画出函数的图象,如图,结合图象可知该函数的递减区间为(-,-1)和(-1,+).答案:(-,-1)和(-1,+)14.已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x)f()的x的取值范围是.解析:偶函数满足f(x)=f(|x|),根据这个结论,有f(2x)f()f(|2x|)f(),进而转化为不等式|2x|,解这个不等式即得x的取值范围是(-,).答案:(-,)15.给出以下四个结论:若集合A=x,y,B=0,x2,A=B,则x=1,y=0;若函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(2x+1)的定义域为(-1,0);函数f(x)=的单调递减区间为(-,0)(0,+);若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则+ =2 016.其中正确的有 .(写出所有正确结论的序号)解析:中,由集合中元素的互异性可知xy且x0.因为A=B,所以解得所以正确;中,由-12x+11,解得-1x0,所以正确;中,由函数单调性的定义可知,f(x)=的单调递减区间有两个:(-, 0),(0,+),而不是(-,0)(0,+),所以错;中,取y=1,可得f(x+1)=f(x)f(1).即=f(1)=2.所以+=21 008=2 016.所以正确.答案:16.若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上单调递增,则实数a的取值范围是 .解析:f(x)=x2+a|x-2|=要使f(x)在(0,+)上单调递增,则解得-4a0,所以实数a的取值范围是-4,0.答案:-4,0三、解答题(共40分)17.(本小题满分8分)求f(x)=x2+2ax+1在区间-1,2上的最小值和最大值.解:因为函数f(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1-a2的对称轴为x=-a,当-a1时,函数f(x)在-1,2上是增函数,故当x=-1时,函数f(x)取得最小值为2-2a;当x=2时,函数f(x)取得最大值为5+4a.当-1-a,即-2,即a-2时,函数f(x)在-1,2上是减函数,故当x=-1时,函数f(x)取得最大值为2-2a;当x=2时,函数f(x)取得最小值为5+4a.18.(本小题满分10分)已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+)上是增函数,且f(x)0,试问F(x)=在(-,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解:F(x)在(-,0)上是减函数.证明如下:任取x1,x2(-,0),且x1-x20.因为y=f(x)在(0,+)上是增函数,且f(x)0,所以f(-x2)f(-x1)f(x1)0.于是F(x1)-F(x2)=0,即F(x1)F(x2),所以F(x)=在(-,0)上是减函数.19.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-2|x|-1,-3x3.(1)证明:f(x)是偶函数;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)求函数的值域.(1)证明:因为-3x3,所以定义域关于原点对称.因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)解:f(x)=函数f(x)的图象如图所示.f(x)的单调增区间为-1,0,1,3;单调减区间为-3,-1,0,1.(3)解:当x=3时,f(x)max=2,当x=1时,f(x)min=-2,故f(x)的值域为-2,2.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,若函数f(x)是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=3f(x)+,试证明函数g(x)在(0,1)上是减函数;(3)若不等式g(x)m在,上恒成立,求m的取值范围.(1)解:因为f(x)=是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以=-.即=-.所以-bx+c=-(bx+c).所以c=-c.所以c=0.所以f(x)=.因为f(1)=3,f(2)=5,所以=3,=5.所以a=,b=.所以f(x)=.(2)证明:g(x)=3f(x)+=7(x+).设x1,x2(0,1)且x1x2.g(x2)-g(x1)=7（x2+-x1-）=7(x2-x1)（1-）=.因为0x1x21,所以x1x21,x1x2-10.所以g(x2)-g(x1)0,g(x2)g(x1).因此函数g(x)在(0,1)上是减函数.(3)解:由(2)知g(x)在,上为减函数.所以g(x)在x=处取最大值g()=.所以m,即m的取值范围为,+).
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