量子力学-第二章-定态薛定谔方程.ppt

第二章定态薛定鄂方程 一 定态Schr dinger方程 定态 二 能量本征值方程 三 求解定态问题的步骤 四 定态的性质 五 如何由定态得到一般解 一 定态Schr dinger方程 定态 讨论有外场情况下的Schr dinger方程 令 于是 V r 与t无关时 可以分离变量 等式两边是相互无关的物理量 故应等于与t r无关的常数 此波函数与时间t的关系是正弦型的 其角频率 2 E h 由deBroglie关系可知 E就是体系处于波函数 r t 所描写的状态时的能量 也就是说 此时体系能量有确定的值 所以这种状态称为定态 波函数 r t 称为定态波函数 空间波函数 r 由方程 和具体的边界条件所确定 该方程称为定态Schr dinger方程 1 一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相同 数学物理方法中 微分方程 边界条件构成本征值问题 2 量子力学中 波函数要满足三个标准条件 对应数学物理方法中的边界条件 称为波函数的自然边界条件 因此 在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程 常量E称为算符H的本征值 称为算符H的本征函数 3 由上面讨论可知 当体系处于能量算符本征函数所描写的状态 简称能量本征态 时 粒子能量有确定的数值 这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值 二 能量本征值方程 三 求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 r t 和在这些态中的能量E 其具体步骤如下 1 列出定态Schrodinger方程 2 根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题 得 3 写出定态波函数即得到对应第n个本征值En的定态波函数 4 通过归一化确定归一化系数Cn 四 定态的性质 2 几率流密度与时间无关 1 粒子在空间几率密度分布与时间无关 4 能量本征函数是完备的正交归一系可以证明 以后证明 3 处于定态时力学量 不显含时间 的期待值是常数 推论 正交归一性 薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为 其中展开系数由初始条件定 由定态波函数的正交归一性 我们来求处在 能量的期待值 我们在来看 的归一化 从上面两个式子可以看出 具有几率的概念 当对 测量能量时 测到 的几率是 也可以说体系 是部分地处于 态 各个态出现的几率分别是 需要注意的是 尽管分离解自身是定态解 其几率和期望值都不依赖时间 但是一般解并不具备这个性质 因为不同的定态具有不同的能量 在计算时 含时指数因子不能相互抵消 2 2一维无限深势阱 求解S 方程分四步 1 列出各势域的一维S 方程 2 解方程 3 使用波函数标准条件定解 4 定归一化系数 1 列出各势域的S 方程 方程可简化为 势V x 分为三个区域 用I II和III表示 其上的波函数分别为 I x II x 和 III x 则方程为 3 使用波函数标准条件定解 从物理考虑 粒子不能透过无穷高的势壁 根据波函数的统计解释 要求在阱壁上和阱壁外波函数为零 特别是 a a 0 1 单值 成立 2 有限 当x 有限条件要求C2 0 2 解方程 3 连续性 在势的分界点 由波函数的连续性 点 点 由此得到 A和B不能同时为零 否则波函数处处为零 处处为零的波函数总是满足薛定谔方程的 这在物理上是没有意义的 因此 我们得到两组解 1 2 6 8 对第一种情况 我们必须有 对第二种情况 我们必须有 n 0对应于波函数恒为零的解没有意义 n等于负整数时不给出新的解 由 2 6 5 10 体系的能量为 可以看出由无限多个能量值 它们组成体系的分离能级 每一个能级对应一个n 我们称n为量子数 正整数 2 6 11 2 2 6 9 2 6 10 我们得到的两组波函数解 2 6 12 这两组解可以合并为一个式子 2 6 14 2 6 13 由归一化条件 求出 所以一维无限深势阱中粒子的定态波函数是 利用公式 可以将正弦波写成指数函数 由此可知 是由两个沿相反方向传播振幅相等的平面波叠加而成的驻波 波函数在势阱外时为零 即粒子被束缚在势阱内部 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态 一般来讲 束缚态所属的能级是分立的 体系能量最低的态称为基态 一维无限深势阱中的粒子的基态是n 1的本征态 6 粒子的能级间隔 相邻两个能级的能量差 相邻两个能级的能量差与势阱宽度的平方成反比 因此 量子化现象对于空间范围很小的微观体系才显著 一维无限深势阱应用举例 解释有机燃料分子 多烯烃 不同颜色的根源 有机燃料分子是线性分子 电子在分子内运动是自由的 但不能跑出分子外 可以简化为电子在一维无限深势阱中运动 设分子限度为2a 例如1 靛蓝 其a大 小 他吸收低频光 反射高频光 因此呈蓝紫色 2 刚果红 其a小 大 他吸收高频光 反射低频光 因此呈红色 三 宇称 1 空间反射变换 空间矢量反向的操作 2 此时如果有 称波函数具有偶宇称 称波函数具有奇宇称 2 3线性谐振子 一 引言 1 何谓谐振子 2 为什么研究线性谐振子 二 线性谐振子 1 方程的建立 2 求解 3 应用标准条件 4 厄密多项式 5 求归一化系数 6 讨论 三 实例 一 引言 1 何谓谐振子 量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子 在经典力学中 当质量为 的粒子 受弹性力F kx作用 由牛顿第二定律可以写出运动方程为 其解为x Asin t 这种运动称为简谐振动 作这种运动的粒子叫谐振子 若取V0 0 即平衡位置处于势V 0点 则 2 为什么研究线性谐振子 自然界广泛碰到简谐振动 任何体系在平衡位置附近的小振动 例如分子振动 晶格振动 原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似 所以简谐振动的研究 无论在理论上还是在应用上都是很重要的 例如双原子分子 两原子间的势V是二者相对距离x的函数 如图所示 在x a处 V有一极小值V0 在x a附近势可以展开成泰勒级数 取新坐标原点为 a V0 则势可表示为标准谐振子势的形式 可见 一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述 1 方程的建立 线性谐振子的Hamilton算符 定态Schr dinger方程 为简单起见 引入无量纲变量 代替x 此式是一变系数二阶常微分方程 2 求通解 为求解方程 我们先看一下它的渐近解 即当 时波函数 的行为 在此情况下 2 于是方程变为 其解为 exp 2 2 1 渐近解 欲验证解的正确性 可将其代回方程 波函数有限性条件 当 时 应有c2 0 因整个波函数尚未归一化 所以c1可以令其等于1 最后渐近波函数为 2 1 其中H 必须满足波函数的单值 有限 连续的标准条件 即 当 有限时 H 有限 当 时 H 的行为要保证 0 将 表达式代入方程得关于待求函数H 所满足的方程 2 H 满足的方程 此方程称为Hermite方程 3 Hermite方程的级数解 以级数形式来求解 令 用k代替k 由上式可以看出 b0决定所有角标k为偶数的系数 b1决定所有角标k为奇数的系数 因为方程是二阶微分方程 应有两个线性独立解 可分别令 b0 0 b1 0 Heven b1 0 b0 0 Hodd 即 bk 2 k 2 k 1 bk2k bk 1 0从而导出系数bk的递推公式 该式对任意 都成立 故 同次幂前的系数均应为零 只含偶次幂项 只含奇次幂项 则通解可记为 H coHodd ceHeven coHodd ceHevene exp 2 2 3 用标准条件定解 I 0exp 2 2 0 1Heven 0 b0Hodd 0 0皆有限 II 需要考虑无穷级数H 的收敛性 为此考察相邻两项之比 考察幂级数exp 2 的展开式的收敛性 比较二级数可知 当 时 H 的渐近行为与exp 2 相同 单值性和连续性条件自然满足 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论 因为H 是一个幂级数 故应考虑他的收敛性 考虑一些特殊点 即势场有跳跃的地方以及x 0 x 或 0 所以 总波函数有如下发散行为 为了满足波函数有限性要求 幂级数H 必须从某一项截断变成一个多项式 换言之 要求H 从某一项 比如第n项 起以后各项的系数均为零 即bn 0 bn 2 0 递推关系 结论基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值 4 厄密多项式 从有限性条件得到H 是多项式 该多项式称为厄密多项式 记为Hn 于是 总波函数可表示为 由上式可以看出 Hn 的最高次幂是n其系数是2n 归一化常数 Hn 也可写成封闭形式 2n 1 下面给出前几个厄密多项式具体表达式 H0 1 H2 4 2 2 H4 16 4 48 2 12H1 2 H3 8 3 12 H5 32 5 160 3 120 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系 从上式出发 可导出厄密多项式的递推关系 应用实例 例 已知H0 1 H1 2 则根据上述递推关系得出 H2 2 H1 2nH0 4 2 2 基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数 x 的递推关系 5 求归一化常数 分步积分 该式第一项是一个多项式与exp 2 的乘积 当代入上下限 后 该项为零 继续分步积分到底 因为Hn的最高次项 n的系数是2n 所以dnHn d n 2nn 则谐振子波函数为 I 作变量代换 因为 x 所以d dx II 应用Hn 的封闭形式 6 讨论 3 对应一个谐振子能级只有一个本征函数 即一个状态 所以能级是非简并的 值得注意的是 基态能量E0 1 2 0 称为零点能 这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的 是微观粒子波粒二相性的表现 能量为零的 静止的 波是没有意义的 零点能是量子效应 1 上式表明 Hn 的最高次项是 2 n 所以 当n 偶 则厄密多项式只含 的偶次项 当n 奇 则厄密多项式只含 的奇次项 2 n具有n宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的exp 2 2 是 的偶函数 所以 n的宇称由厄密多项式Hn 决定为n宇称 4 波函数 然而 量子情况与此不同 对于基态 其几率密度是 0 0 2 N02exp 2 1 在 0处找到粒子的几率最大 2 在 1处 即在阱外找到粒子的几率不为零 与经典情况完全不同 以基态为例 在经典情形下 粒子将被限制在 x 1范围中运动 这是因为振子在这一点 x 1 处 其势能V x 1 2 2x2 1 2 E0 即势能等于总能量 动能为零 粒子被限制在阱内 分析波函数可知量子力学的谐振子波函数 n有n个节点 在节点处找到粒子的几率为零 而经典力学的谐振子在 a a 区间每一点上都能找到粒子 没有节点 5 几率分布 当线性谐振子处在前几个量子态时 几率分布与经典情况差别很大 当量子数增大时 相似性随之增加 另一种解法 我们看到如果体系的势能在无限远处是无穷大 则波函数在无限远处为零 这个条件使体系的能级是分离的 如果体系的能量在无限远处不是无限大 而为有限值 下面取作零 这时粒子可以在无限远处出现 波函数在无限远处不为零 由于没有无限远处波函数为零的约束 体系的能量可以取任意之 即组成连续谱 这类问题属于粒子被势场散射的问题 粒子由无限远处来 被势场散射后又到无限远处去 在这类问题中 粒子的能量是预先确定的 考虑在一维空间运动的粒子 势场为 具有一定能量E的粒子由势垒左方向右运动 在经典力学中 只有能量E大于U0的粒子才能越过势垒 能量小于U0的粒子将被反射回去 不能透过势垒 当粒子能量确定后 它能不能穿过势垒是唯一确定的 在量子力学中 情况却不是这样 能量大于U0的粒子有可能越过势垒 也有可能被反射 而能量小于U0的粒子有可能被反射 但是也有可能越过势垒 定态Schr dinger方程 一维势散射问题 二 方程求解 1 E V0情况 因为E 0 E V0 所以k1 0 k2 0 上面的方程可改写为 上述三个区域的Schr dinger方程可写为 定态波函数 1 2 3分别乘以含时因子exp iEt 即可看出 式中第一项是沿x正向传播的平面波 第二项是沿x负向传播的平面波 由于在x a的III区没有反射波 所以C 0 于是解为 利用波函数标准条件来定系数 首先 解单值 有限条件满足 考虑连续性 1 波函数连续 2 波函数导数连续 解出 写成矩阵形式 4 透射系数和反射系数 求解方程组得 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率 定义透射系数和反射系数 I透射系数 透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D JD JI II反射系数 反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R JR JI 物理意义 描述贯穿到x a的III区中的粒子在单位时间内流过垂直x方向的单位面积的数目与入射粒子 在x 0的I区 在单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比 下面求D和R 几率流密度矢量 对一维定态问题 J与时间无关 对透射波 Cexp ik1x 所以 透射波几率流密度 反射波 A exp ik1x 所以 反射波几率流密度 其中负号表示与入射波方向相反 入射波 Aexp ik1x 所以 入射波几率流密度 透射系数为 从以上二式可看出 D R 1 几率守恒 入射粒子一部分贯穿势垒到x a的III区 另一部分则被势垒反射回来 反射系数为 由于 2 E V0情况 故令 k2 ik3 其中k3 2 V0 E 1 2 这样把前面公式中的k2换成ik3 并注意到 sinik3a isinhk3a 即使E V0 在一般情况下 透射系数D并不等于零 入射波 反射波 透射波 因k2 2 E V0 1 2 当E V0时 k2是虚数 隧道效应 tunneleffect 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象 它是粒子具有波动性的生动表现 当然 这种现象只在一定条件下才比较显著 左图给出了势垒穿透的波动图象 三 讨论 1 当k3a 1时 故4可略 透射系数则变为 粗略估计 认为k1 k3 相当于E V0 2 则D0 4是一常数 下面通过实例来说明透射系数的量级大小 于是 例1 入射粒子为电子 设E 1eV V0 2eV a 2 10 8cm 2 算得D 0 51 若a 5 10 8cm 5 则D 0 024 可见透射系数迅速减小 质子与电子质量比 p e 1840 对于a 2 则D 2 10 38 可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度 量子力学提出后 Gamow首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的 衰变现象 例2 入射粒子换成质子 2 任意形状的势垒 则a b贯穿势垒V x 的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积 即 此式的推导是不太严格的 但该式与严格推导的结果一致 对每一小方势垒透射系数 可把任意形状的势垒分割成许多小势垒 这些小势垒可以近似用方势垒处理 四 应用实例 1 原子钟 2 场致发射 冷发射 衰变 隧道二极管 热核聚变 扫描隧道显微镜等都是势垒穿透现象 下面介绍两个典型实例 1 原子钟 原子钟的频率标准就是利用氨分子 NH3 基态势垒贯穿的振荡频率 氨分子 NH3 是一个棱锥体 N原子在其顶点上 三个H原子在基底 如右图所示 如果N原子初始在N处 则由于隧道效应 可以穿过势垒而出现在N 点 当运动能量小于势垒高度 R S之间或T U之间的振荡 谐振子 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动 如图中能级E所示 则N原子的运动有两种形式 对于NH3基态 第二种振荡频率为2 3786 1010Hz 这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动 2 场致发射 冷发射 欲使金属发射电子 可以将金属加热或用光照射给电子提供能量 这就是我们所熟知的热发射和光电效应 但是 施加一个外电场 金属中电子的所感受到的电势如图 b 所示 金属中电子面对一个势垒 能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出 从而导致所谓场致电子发射 小结 1 深刻理解波函数的统计解释 几率密度的含义波函数在空间中某一点的强度 2 和在该点找到粒子的几率成正比在时刻t 在 x y z 点附近单位体积内找到粒子的几率 称为几率密度w x y z t x y z t 22 掌握坐标 动量的算符表示 3 掌握薛定鄂方程求解的一般方法 4掌握求解一维定态问题的方法 在求解时会熟练应用波函数的标准条件 深入理解能量的量子化和几率分布