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第二章 推理与证明章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1证明：11)，当n2时，中间式子等于()A1B1C1 D1解析：n2时中间式子的最后一项为，所以中间子式为1.答案：D2用反证法证明命题：“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()Aa，b都能被3整除Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除Da不能被3整除解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除答案：B3下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有：loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有：sin(xy)sinxsinyC把(ab)n与(xy)n类比，则有：(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比，则有：(xy)zx(yz)解析：A中类比的结果应为loga(xy)logaxlogay，B中如xy时不成立，C中如xy1时不成立，D中对于任意实数分配律成立答案：D4若a0，b0，则有()A.2ba B.0，所以ex1,00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()A综合法 B分析法C反证法 D以上都不是解析：这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A.答案：A6下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立因为f(x)x3在(1,1)内可导且单调递增，所以在(1,1)内，f(x)3x20恒成立以上推理中()A大前提错误 B小前提错误C结论正确 D推理形式错误解析：f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f(x)0恒成立，故大前提错误故选A.答案：A7用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为()A(5k2k)45k2kB5(5k2k)32kC(52)(5k2k)D2(5k2k)35k解析：5k12k15k52k25k52k52k52k25(5k2k)32k.答案：B8将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc，则正确的结论有()A1个 B2个C3个 D4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误答案：B9观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199解析：记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案：C10数列an满足a1，an11，则a2 017等于()A. B1C. 2 D3解析：a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 017a13672a1.答案：A11已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：因为(abc)2a2b2c22(abbcac)0，又因为a2b2c20.所以2(abbcac)0.故选D.答案：D12如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第7行第4个数(从左往右数)为()A. B.C. D.解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为.同理易知，第7行第3个数为，第7行第4个数为.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答案：x，y均不大于1(或者x1且y1)14观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1.答案：10，b0，用分析法证明：.证明：因为a0，b0，要证，只要证，(ab)24ab，只要证(ab)24ab0，即证a22abb20，而a22abb2(ab)20恒成立，故成立19(12分)已知a1a2a3a4100，求证a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.解析：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.20(12分)ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C与a，b，c都成等差数列，求证ABC为正三角形证明：因为A，B，C成等差数列，所以2BAC，又ABC，由得B.又a，b，c成等差数列，所以b，由余弦定理得b2a2c22accosB，将代入得2a2c22ac.化简得a22acc20，即(ac)20，所以ac，由得abc，所以ABC为正三角形21(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数(1)sin213cos217sin13cos17.(2)sin215cos215sin15cos15.(3)sin218cos212sin18cos12.(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48.(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：选择(2)式计算如下sin215cos215sin15cos151sin30.三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.22(12分)已知数列an的前n项和为Sn，满足an，且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解析：(1)a2，又a1，则a2，类似地，求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜想an.用数学归纳法证明如下：当n1时，由(1)可知猜想成立；假设当nk(kN*且k2)时猜想成立，即ak.则当nk1时，ak1，Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1，k(2k3)ak1，ak1.由nk1时猜想也成立由可知，猜想对任何nN*都成立an的通项公式为an.
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