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习题课二项式定理学习目标1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题1二项式定理及其相关概念二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，称为二项式定理二项式系数C(k0,1，n)通项Tk1Cankbk(k0,1，n)二项式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn2二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：CC；(2)性质：CCC；(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即最大；(4)二项式系数之和：CCCCC2n，所用方法是赋值法类型一二项式定理的灵活应用例1(1)(1)6(1)4的展开式中x的系数是()A4 B3 C3 D4(2)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a_.考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案(1)B(2)1解析(1)方法一(1)6的展开式的通项为C()mC(1)m，(1)4的展开式的通项为C()nC，其中m0,1,2，6，n0,1,2,3,4.令1，得mn2，于是(1)6(1)4的展开式中x的系数等于C(1)0CC(1)1CC(1)2C3.方法二(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x)，于是(1)6(1)4的展开式中x的系数为C1C(1)113.(2)(1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.x2的系数为CaC，则105a5，解得a1.反思与感悟两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得跟踪训练1(1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为()A40 B20 C20 D40(2)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案(1)D(2)120解析(1)令x1，得(1a)(21)52，a1，故5的展开式中常数项即为5的展开式中与x的系数之和5的展开式的通项为Tk1(1)kC25kx52k，令52k1，得k2，展开式中x的系数为C252(1)280，令52k1，得k3，展开式中的系数为C253(1)340，5的展开式中常数项为804040.(2)f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.例25的展开式中的常数项是_考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案解析方法一原式5，展开式的通项为(k10,1,2，5)当k15时，T6()54，当0k15时，的展开式的通项公式为(k20,1,2，5k1)令5k12k20，即k12k25.0k15且k1Z，或常数项为4CC2CC()3420.方法二原式5(x)25(x)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x)10的展开式中含x5项的系数，即C()5.所求的常数项为.反思与感悟三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性跟踪训练2(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案30解析方法一(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.方法二(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.例3今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期()A一 B二 C三 D四考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案A解析求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数因为810(71)10710C79C717M1(MN*)，所以第810天相当于第1天，故为星期一反思与感悟(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式跟踪训练3设aZ，且0a13，若512 017a能被13整除，则a_.考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案1解析512 017a(521)2 017aC522 017C522 016C522 015C5211a，能被13整除，0a0，则(1x)1010的展开式中的常数项为()A1 B(C)2CC DC考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案D解析(1x)1010101020.设其展开式的通项为Tk1，则Tk1Cx10k，当k10时，为常数项故选D.4当n为正奇数时，7nC7n1C7n2C7被9除所得的余数是()A0 B2 C7 D8考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案C解析原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C9n2C9(1)n1(1)n1.因为n为正奇数，所以(1)n1297，所以余数为7.5设(21)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为_考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案160x解析当x1时，可得M1，二项式系数之和N2n，由题意，得MN64，2n64，n6.第四项T4C(2)3(1)3160x.1两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得2三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性3用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了4求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入5确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质一、选择题1二项式12的展开式中的常数项是()A第7项 B第8项C第9项 D第10项考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案C解析二项展开式中的通项公式为Tk1Cx12kkC2k，令12k0，得k8.常数项为第9项2(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84 C112 D168考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案D解析因为(1x)8的通项为Cxk，(1y)4的通项为Cyt，故(1x)8(1y)4的通项为CCxkyt.令k2，t2，得x2y2的系数为CC168.3若(x3y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为()A15 B10 C8 D5考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案D解析由于(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.4若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a等于()A2 B. C1 D.考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案C解析二项式7的展开式的通项公式为Tk1C(2x)7kkC27kakx72k，令72k3，得k5.故展开式中的系数是C22a5，即C22a584，解得a1.5设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m等于()A5 B6 C7 D8考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中二项式系数最大(小)的项答案B解析(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，aC.同理，bC.13a7b，13C7C，137，m6.6二项式6的展开式中不含x3项的系数之和为()A20 B24 C30 D36考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案A解析由二项式的展开式的通项公式Tk1C(1)kx123k，令123k3，解得k3，故展开式中x3项的系数为C(1)320，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20.7在(1x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1x2)n的值为()A0 BABCA2B2 DA2B2考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案C解析(1x)nAB，(1x)nAB，(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.89192被100除所得的余数为()A1 B81 C81 D992考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案B解析利用9192(1009)92的展开式，或利用(901)92的展开式方法一(1009)92C10092C100919C1009092C100991C992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数由992(101)92C1092C102C101.前91项均能被100整除，后两项和为919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 00091981，9192被100除可得余数为81.方法二(901)92C9092C9091C902C90C.前91项均能被100整除，剩下两项为929018 281，显然8 281除以100所得余数为81.二、填空题9若6的二项展开式中，常数项为，则二项式系数最大的项为_考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项答案x3或x3解析6二项展开式的通项为Tk1C(x2)6kkCakx123k，令123k0，得k4，Ca4，解得a2，当a2时，二项式系数最大的项为C(x2)33x3.当a2时，二项式系数最大的项为C(x2)33x3.10.3的展开式中常数项为_考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案20解析36展开式的通项公式为Tk1C(1)kx62k.令62k0，解得k3.故展开式中的常数项为C20.11(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是_考点二项式定理的综合应用题点整除和余数问题答案1.34解析(1.05)6(10.05)6CC0.05C0.052C0.05310.30.037 50.002 51.34.12已知n的展开式中含x的项为第6项，设(1x2x2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a1a2a2n_.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案255解析因为n的展开式的通项是C(1)kx2n3k(k0,1,2，n)，因为含x的项为第6项，所以当k5时，2n3k1，即n8.令x1，得a0a1a2a2n28256.又a01，所以a1a2a2n255.三、解答题13在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项解(1)二项式n的展开式中，前三项的系数分别为1，.根据前三项的系数成等差数列，可得n1，求得n8或n1(舍去)故二项式n的展开式的通项为Tk1C2kx4k.令4k0，求得k4，可得展开式中的常数项为T5C4.(2)设第k1项的系数最大，则由求得2k3.因为kZ，所以k2或k3，故系数最大的项为T37x2或T47x.四、探究与拓展14若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m_.考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题答案3或1解析在(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9中，令x2，可得a0a1a2a3a8a9m9，即(a0a2a8)(a1a3a9)m9，令x0，可得(a0a2a8)(a1a3a9)(2m)9.(a0a2a8)2(a1a3a9)239，(a0a2a8)(a1a3a9)(a0a2a8)(a1a3a9)39，(2m)9m9(2mm2)939，可得2mm23，解得m1或3.15已知(1m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1m)n(1x)的展开式中含x2项的系数考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数解(1)由题意可得2n256，解得n8，展开式的通项为Tk1Cmk，含x项的系数为Cm2112，解得m2或m2(舍去)故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，含x2项的系数为C24C221 008.
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