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2.4.1函数的零点【选题明细表】知识点、方法题号求函数零点及零点个数1,2,6,10零点的分布8,11零点的应用3,4,5,7,9,121.下列函数不存在零点的是(D)(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是(C)(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:法一x0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是(B)(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2-a+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5=.解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是(B)(A)(2,+) (B)2,+)(C)(0,2) (D)(-,2解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是(C)(A)-,-)(B)-,)(C)-,) (D)-,+)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根,则有(A)(A)a0(C)a1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a0,则=m2-4a(m-1)0对于mR恒成立,即m2-4am+4a0恒成立,所以=16a2-16a0,从而解得0a1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(xx江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4m0恒成立,即对于任意bR,b2-4ab+4a0恒成立,所以(-4a)2-44a0得a2-a0.所以0a1.
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