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第14讲二次函数的综合应用基础满分考场零失误1.(xx东营)如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a0)与x轴交于A、B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使OCAOBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,当点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.能力升级提分真功夫 2.(xx河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.3.(xx太原二模)综合与探究如图,抛物线y=-33x2-233x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过B,C两点,点M从点A出发沿x轴以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,连接CM,将线段MC绕点M顺时针方向旋转90得到线段MD,连接CD,BD.设点M运动的时间为t(t0),请解答下列问题:(1)求点A的坐标与直线l的表达式;(2)直接写出点D的坐标(用含t的式子表示),并求点D落在直线l上时的t的值;求点M运动的过程中线段CD长度的最小值;(3)在点M运动的过程中,在直线l上是否存在点P,使得BDP是等边三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.预测猜押把脉新中考 4.(2019原创预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线:y=ax2+bx+c的顶点坐标为C(-1,3),与x轴交于点A,B,点A的坐标为(-3,0),其对称轴为直线m,点D(0,2)为y轴上的一点,AD与m交于点E,将ACE沿x轴以每秒1个单位的速度向右平移,得到ACE,直线AC分别与直线AD交于点F,与直线m交于点G.(1)求抛物线的表达式;(2)请直接用含t的代数式表示点A,F,G的坐标;(3)当t=23时,请判断AF与FG的数量关系,并说明理由;(4)请直接写出在平移过程中,点A,F,G中,一点为另两点构成的线段中点时t的值.答案精解精析基础满分1.解析(1)由题可知当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3,OCAOBC,OCOB=OAOC,OC2=OAOB=3,则OC=3.(2)C是BM的中点,即OC为斜边BM的中线,OC=BC,点C的横坐标为32,又OC=3,点C在x轴下方,C32,-32,设直线BM的解析式为y=kx+b(k0),把点B(3,0),C32,-32代入得3k+b=0,32k+b=-32,解得b=-3,k=33,直线BM的解析式为y=33x-3,点C32,-32在抛物线上,代入抛物线解析式,解得a=233,抛物线解析式为y=233x2-833x+23.(3)存在.设点P的坐标为x,233x2-833x+23,过点P作PQx轴交直线BM于点Q,则Qx,33x-3,PQ=33x-3-233x2-833x+23=-233x2+33x-33,当BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大,SBCP=12PQ(3-x)+12PQx-32=34PQ=-32x2+934x-934,当x=94时,SBCP有最大值,即四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为94,-538.能力升级2.解析(1)直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C,B(5,0),C(0,-5),抛物线y=ax2+6x+c过点B,C,0=25a+30+c,-5=c.a=-1,c=-5.抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.(2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45.抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点,A(1,0).AB=4.AMBC,AM=22.PQAM,PQBC.若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=22.过点P作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ=45.PD=2PQ=4.设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).分两种情况讨论如下:(i)当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4.m1=1(舍去),m2=4.(ii)当点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4.m3=5+412,m4=5-412.综上,点P的横坐标为4或5+412或5-412.M136,-176或236,-76.3.解析(1)当y=0时,-33x2-233x+3=0,解得x1=1,x2=-3,点A在点B的左侧,A(-3,0),B(1,0),当x=0时,y=3,C(0,3),设直线l的表达式为y=kx+b(k0),将B,C两点坐标代入得0=k+b,3=b,解得k=-3,b=3,故直线l的表达式为y=-3x+3.(2)当点M在AO上运动时,如图,由题意可知AM=t,OM=3-t,MCMD,过点D作x轴的垂线垂足为N,DMN+CMO=90,CMO+MCO=90,MCO=DMN,在MCO与DMN中,MD=MC,MCO=DMO,COM=MND,MCODMN,MN=OC=3,DN=OM=3-t,D(t-3+3,t-3);同理,当点M在OB上运动时,如图,OM=t-3,MCODMN,MN=OC=3,ON=t-3+3,DN=OM=t-3,D(t-3+3,t-3).综上得,D(t-3+3,t-3).将D点坐标代入直线的解析式,得t=6-23.线段CD是等腰直角三角形CMD的斜边,若CD最小,则CM最小,M在AB上运动,当CMAB时,CM最短,CD边最短,即CM=CO=3,根据勾股定理得CD边最小值为6.(3)当点M在AO上运动,即0t3时,tanCBO=OCOB=3,CBO=60,BDP是等边三角形,DBP=BDP=60,BD=BP,NBD=60,DN=3-t,AN=t+3,NB=4-t-3,tanNBD=DNNB,3-t4-t-3=3,解得t=3-3,经检验,t=3-3是此方程的解,过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,易知PQBDNB,BQ=BN=4-t-3=1,PQ=3,OQ=2,P(2,-3);同理,当点M在OB上运动时,即3t4时,BDP是等边三角形,DBP=BDP=60,BD=BP,NBD=60,DN=t-3,NB=t-3+3-1=t-4+3,tanNBD=DNNB,t-3t-4+3=3,解得t=3-3,经检验,t=3-3是此方程的解,t=3-33不符合题意,舍去.故P(2,-3).预测猜押4.解析(1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,3),y=a(x+1)2+3,抛物线经过点A(-3,0),0=a(-3+1)2+3,a=-34,y=-34(x+1)2+3=-34x2-32x+94,抛物线的表达式为y=-34x2-32x+94.(2)A(-3+t,0),F-3+95t,65t,G-1,3-32t.(3)AF=FG.证明:点A的坐标为(-3,0),顶点C的坐标为(-1,3),AH=2,在RtAEH中,tanDAB=EHAH=DOAO,DO=2,AO=3,EH=43.当t=23时,得G(-1,2),AA=23,GH=2,EG=23.AA=EG.在RtACH中,tanACH=AHCH=23,tanDAB=DOAO=23,ACH=DAB.由题意知ACAC,ACH=DAB=FGE.AFA=GFE,AAFGEF.AF=FG.(4)t=1013;t=107;t=10.
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