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小专题(六)因式分解的几种常见方法因式分解的方法多种多样,现总结如下:1.提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.2.运用公式法:由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,因此把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.3.分组分解法:要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a;把它后两项分成一组,并提取公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提取公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n).4.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq型的多项式的因式分解.这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1,常数项是两个数的积,一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).mx2+px+q型的多项式的因式分解,如果ab=m,cd=q,且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c).5.拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法,运用公式法或分组分解法进行分解.注意必须在与原多项式相等的原则上进行变形.类型1提公因式法1.因式分解:(1)2x(a-b)+3y(b-a);解:原式=2x(a-b)-3y(a-b)=(a-b)(2x-3y).(2)x(x2-xy)-(4x2-4xy).解:原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).2.简便计算:(1)1.992+1.990.01;解:原式=1.99(1.99+0.01)=3.98.(2)xx2+xx2.解:原式=xx(xx+1)-xx2=xxxx-xx2=xx(xx)=-xx.类型2运用公式法3.因式分解:(1)x2+2xy2+2y4;解:原式=(x2+4xy2+y4)=(x+2y2)2.(2)4b2c2-(b2+c2)2;解:原式=(2bc+b2+c2)(2bc-b2-c2)=-(b+c)2(b-c)2.(3)a(a2-1)-a2+1;解:原式=a(a2-1)-(a2-1)=a(a+1)(a-1)-(a+1)(a-1)=(a+1)(a-1)2.(4)(a+1)(a-1)-8.解:原式=a2-1-8=a2-9=(a+3)(a-3).4.先分解因式,再求值:(m2+n2)2-4m2n2,其中m=-3,n=2.解:原式=(m2+n2)2-(2mn)2=(m2+2mn+n2)(m2-2mn+n2)=(m+n)2(m-n)2.当m=-3,n=2时,原式=(-3+2)2(-3-2)2=(-1)2(-5)2=125=25.5.已知x=156,y=144,求代数式x2+xy+y2的值.解:x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2,当x=156,y=144时,原式=(156+144)2=45000.类型3分组分解法6.将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法,一般的分组分解法有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如“2+2”分法:ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:(1)分解因式:x2-y2-x-y;(2)分解因式:9m2-4x2+4xy-y2;(3)分解因式:4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1.解:(1)原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1).(2)原式=9m2-(4x2-4xy+y2)=(3m)2-(2x-y)2=(3m+2x-y)(3m-2x+y).(3)原式=(2a+1)2-b2(2a+1)2=(2a+1)2(1+b)(1-b).类型4十字相乘法(教材延伸)7.用十字相乘法分解因式:(1)x2+3x+2;解:x2+3x+2=(x+1)(x+2).(2)x2-3x+2;解:x2-3x+2=(x-1)(x-2).(3)x2+2x-3;解:x2+2x-3=(x+3)(x-1).(4)x2-2x-3.解:x2-2x-3=(x-3)(x+1).8.用十字相乘法分解因式:(1)2x2-3x+1;解:2x2-3x+1=(2x-1)(x-1).(2)6x2+5x-6.解:6x2+5x-6=(2x+3)(3x-2).类型5拆项、补项法9.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法,它通常是把多项式中的某一项拆成几项,再分组分解,因而有时需要多次实验才能成功,例如把x3-3x2+4分解因式,这是一个三项式,最高次项是三次项,一次项系数是0,本题没有公因式可提取,又不能直接应用公式,因而考虑制造分组分解的条件,把常数项拆成1和3,原式就变成(x3+1)-(3x2-3),再利用立方和与平方差先分解,解法如下:原式=x3+1-(3x2-3)=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)=(x+1)(x2-x+1-3x+3)=(x+1)(x-2)2.公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).根据上述论法和解法,思考并解决下列问题:(1)分解因式:x3+x2-2;(2)分解因式:x3-7x+6;(3)分解因式:x4+x2+1.解:(1)原式=(x3-1)+(x2-1)=(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+1)=(x-1)(x2+2x+2).(2)原式=x3-1-7x+7=(x-1)(x2+x+1)-7(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3).(3)原式=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x).
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