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两条直线的位置关系一课一练基础闯关题组 垂线的概念1. 平面内三条直线交于点O,1=30,2=60,直线AB与直线CD的关系是 () A.平行B.垂直C.重合D.以上均有可能【解析】选B.如图,因为3=2=60,又1=30,所以AOD=1+3=90,所以ABCD. 2. 如图,直线AB,CD相交于点O,OEAB于点O,COE=55,则BOD的度数是 () A.40B.45C.30D.35【解析】选D.因为OEAB,所以AOE=90.因为COE=55,所以AOC=AOE-COE=90-55=35.因为BOD=AOC,所以BOD=35.【特别提醒】有垂直就会有直角,常常结合余角来考查,同时邻补角和对顶角的性质也常作为隐含信息用来解决问题.【变式训练】如图,已知ABCD,垂足为O,EF经过点O.如果1=30,则2等于() A.30B.45C.60D.90【解析】选C.因为ABCD,垂足为O,所以AOD=90,因为1=30,所以FOD=30,所以2=90-30=60.3. 如图,AOBO,CODO,AOCBOC=15,则BOD=世纪金榜导学号45574054(). A.105B.112.5C.135D.157.5【解析】选D.因为AOBO,CODO,所以AOB=COD=90.因为AOB+COD+AOC+BOD=360,所以AOC+BOD=180.因为AOCBOC=15,所以设AOC的度数为x,则BOC的度数为5x,所以AOB=BOC-AOC=5x-x=4x=90.解得x=22.5,所以BOD=180-22.5=157.5.4. 如图,点O在直线AE上,OB平分AOC,BOOD,AOB=30,则DOC的度数是() A.30B.50C.60D.70【解析】选C.因为OB平分AOC,所以BOC=AOB=30,因为BOOD,得DOB=90,所以DOC=DOB-BOC=90-30=60.5.如图,直线AB与CD相交于E点,EFAB,垂足为E,1=130,则2=度. 【解析】因为1=130,所以DEB=180-130=50,因为EFAB,所以FEB=90,所以2=90-DEB=90-50=40.答案:405. 如图,已知直线AB,CD交于点O,OEAB于点O,1=65,求3的度数.世纪金榜导学号45574055 【解析】因为ABOE,所以AOE=90,所以1+2=90,因为1=65,所以2=25,因为3=2,所以3=25. 如图,直线AB上有一点O,射线OC把平角AOB分成两个角,OD,OE分别是BOC和AOC的平分线,试判断OE和OD的位置关系,并说明理由.【解析】OE和OD的位置关系是垂直.理由:因为射线OC把平角AOB分成两个角,所以AOC+BOC=180.又因为OD,OE分别是BOC和AOC的平分线,所以EOC=12AOC,DOC=12BOC,所以EOD=EOC+DOC=12(AOC+BOC)=90.故OE和OD的位置关系是垂直.题组 垂线的性质及其应用1.如图所示,P是直线l外一点,点A,B,C在l上,且PBl,下列说法:PA,PB,PC这3条线段中,PB最短.点P到直线l的距离是线段PB的长.线段AB的长是点A到PB的距离.线段PA的长是点P到直线l的距离.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选A.线段PB是点P到直线l的垂线段,根据垂线段最短可知,PA,PB,PC三条线段中,PB最短,故正确.线段PB是点P到直线l的垂线段,故线段PB的长叫做点P到直线l的距离,故正确.线段AB是点A到PB的垂线段,故线段AB的长叫做点A到PB的距离,故正确.因为PA不垂直直线l,所以线段PA的长不是点P到直线l的距离,故错误.综上所述,正确的说法有.2.如图,能表示点到直线的距离的线段共有() A.2条B.3条C.4条D.5条【解析】选D.根据点到直线的距离定义,可判断:AB表示点A到直线BC的距离;AD表示点A到直线BD的距离;BD表示点B到直线AC的距离;CB表示点C到直线AB的距离;CD表示点C到直线BD的距离.共5条.3.如图,在ABC中,C=90,AC=3cm,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是()世纪金榜导学号45574056A.2.5cmB.3cmC.4cmD.5cm【解析】选A.已知,在ABC中,C=90,AC=3cm,根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3cm,当P和C重合时,AP=3cm.4.如图是苗苗同学在体育课上跳远后留下的脚印,她的跳远成绩是线段的长度,这样测量的依据是.世纪金榜导学号45574057 【解析】根据图形及跳远成绩的测量规定可知线段BN的长度为跳远成绩,测量的依据是垂线段最短.答案:BN垂线段最短5.如图,已知:点A、点B及直线l.(1)请画出从点A到直线l的最短路线,并写出画图的依据.(2)请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点O到点B的距离之和最短,并写出画图的依据.【解析】 (1)如图所示,作AEl,垂足为E,AE即为最短路线.依据:垂线段最短.(2)如图所示,连接AB,AB与l的交点即为点O.依据:两点之间线段最短. 如图所示,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起,像图那样放置.(1)若BOC=60,如图,猜想AOD的度数.(2)若BOC=70,如图,猜想AOD的度数.(3)猜想AOD和BOC的关系,并以图为例写出理由. 【解析】(1)因为AOB=90,BOC=60,所以AOC=AOB-BOC=90-60=30.又因为COD=90,所以AOD=AOC+COD=30+90=120.(2)因为AOB+COD+BOC+AOD=360,AOB=90,COD=90,BOC=70,所以AOD=360-AOB-COD-BOC=360-90-90-70=110.(3)猜想:AOD+BOC=180.理由:如题图,因为AOD=AOC+COD=AOC+90,BOC=COD-BOD=90-BOD,AOC=BOD,所以AOD+BOC=180.
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